вычных случаях линейных систем, где, конечно, применимы более простые, прямые методы. Важному вопросу о существовании периодических решений уделено соответственное внимание. Детально изложены вопросы, относящиеся к проблемам с «малой» нелинейностью, проблемам, имею-* щим в расчетном смысле чрезвычайно важное значение. Подробно разобран вопрос об устойчивости.
Все эти проблемы рассмотрены применительно к наиболее простому случаю системы с одной степенью свободы без внешней силы (так называемые автономные системы). То же относится и к разобранным в конце книги конкретным задачам и примерам. Эти вопросы изложены с большей полнотой; но читатель не найдет в книге ни задач, связанных с воздействием внешней силы, ни задач, относящихся к системам с несколькими степенями свободы и к системам с распределенными параметрами. Между тем все эти проблемы несомненно важны и интересны. Однако, если принять во внимание, как велик объем всего материала, относящегося к нелинейным колебаниям, с одной стороны, и основную цель книги — ввести читателя в круг общих идей и методов — с другой, то выбор авторов станет понятным. Автономные системы с одной степенью свободы — наиболее простые системы, и они в то же время являются теми элементами, которые лежат в известном смысле в основе всех более сложных систем.
Теоретический аппарат, необходимый для рассмотрения этих последних, базируется на тех общих положениях, которые изложены здесь р представляют собой его дальнейшее развитие. Таким образом, хотя в настоящей книге разобран сравнительно узкий цикл вопросов, по существу она является введением в общую теорию нелинейных колебаний.
Я не сомневаюсь, что свежая и оригинальная книга, предлагаемая вниманию читателя, будет ценным вкладом в нашу литературу по колебаниям.
1935 г.
ЛАНДАУ
(1908-1968)
Лев Давидович Ландау родился в Баку в семье инженера-нефтяпика; мать ученого была врачом. Ландау кончил школу тринадцати дет, высшую математику он изучил самостоятельно; впоследствии он говорил, что не помнит себя пе умеющим интегрировать. В Бакинском университете Ландау учился сразу на двух факультетах — физико-математическом и химическом. В 1924 г. он перешел в Ленинградский университет, который окончил в 1927 г. Годом раньше он публикует свои первые работы по квантовой механике. В 1929 г. Ландау на полтора года уезжает за границу. Он работает в Англии, Швейцарии, а затем в Дании. Пребывание в Копенгагене оказывает на него наибольшее влияние: Ландау всегда считал себя учеником Бора. Несколько лет Ландау работал в Ленинградском физико-техническом институте, а затем —во вновь созданном Украинском физико-техническом институте в Харькове; там же начала складываться его школа физиков-теоретиков.
В 1937 г Ландау переезжает в Москву, где возглавляет отдел теоретической физики в Институте физических проблем, который основал П. Л. Капица. В этом институте Ландау плодотворно работает до трагической автомобильной катастрофы в январе 1962 г., от последствий которой он так и не оправился.
Работы Ландау посвящены почти всем разделам физикп; но, наверное, главным его делом было развитие квантовой теории твердого тела и создание теории квантовых жидкостей: в первую очередь теории явления сверхтекучестп, открытого в 1938 г. П. Л. Капица. Эти исследования Ландау отмечены Нобелевской премией 1962 г.
Большое влияние на развитие физики и особенно на формирование обширной школы теоретической физики в Советском Союзе оказал многотомный «Курс теоретической физики», написанный совместно с Е, М. Лифшицем; этот курс удостоен Ленинской премии 1962 года. Мы приводим введение, с которого начинается первый том — «Механика» (1940), первоначально написанный вместе с Л. Пятигорским.
КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. МЕХАНИКА
Физика, как известно, состоит, собственно говоря, из двух наук: физики экспериментальной и физики теоретпческой. Громадное количество известных нам физических законов может быть выведено из очень небольшого числа весьма общих соотношений; однако такое выведение, так же как и установление самих основных законов, требует своеобразных методов и поэтому составляет задачу особой науки — теоретической физики.
Для построения своих выводов и заключений теоретическая физика пользуется приемами и методами математики. Однако от последней она резко отличается непосредственной связью с результатами эксперимента. Не говоря уже о том, что установление общих законов возможно только на основе экспериментальных данных, даже нахождение следствий из общих законов нуждается в предварительном экспериментальном изучении явлений. Без такого изучения часто невозможно установить, какие из громадного числа участвующих факторов существенны, а какими мож^ но пренебречь. После того как получены уравнения, учитывающие только существенные факторы, задача теоретической физики, собственно говоря, в основном заканчивается. Дальнейшее применение полученных уравнений к более или менее сложным конкретным случаям является уже скорее предметом математики и изучается отделом математики, носящим название математической физики.
Теоретическая физика ставит себе целыо нахождение физических законов, т.е. установление зависимости между физическими величинами. Определение же численных значений физических величин, вообще говоря, в ее задачи не входит. Эксперимент справляется с этим кругом вопросов относительно настолько легко, что в огромном большинстве случаев отсутствует самая необходимость подобных вычислений, которые к тому же потребовали бы громадной затраты времени и труда. Исключение составляют простейшие случаи, когда численные значения величин непосредственно вытекают из теории.
Следует отметить, что поскольку задача теории состоит всегда в установлении зависимостей между различными величинами, характеризующими данное явление, теория явления может быть построена только в том случае, когда в природе такая связь действительно существует. Сплошь и рядом, однако, между представляющими интерес величинами никакой связи вовсе не существует, т.е. эти величины могут встречаться в природе в самых различных комбинациях. Таким образом, отсутствие теории какого-либо явления далеко не всегда означает, что оно не поддается объяснению. Отсутствие закономерности при этом так же может вытекать из общих законов, как в других случаях сами закономерности.
Громадную роль в теоретической физике играет приближенное рассмотрение. Прежде всего совершенно точные законы природы нам еще неизвестны. Все известные нам общие законы являются приближенными, хотя в громадном большинстве случаев даваемая ими точность является весьма высокой. Более того, требование абсолютной точности к физическим законам и не предъявляется. Достаточно, если существует какая-то заранее установленная область явлений, в которой точность данного закона удовлетворяет поставленной задаче. Так, мы спокойно применяем ньютоновскую механику к движению снаряда, хотя нам известно не только то, что эта механика не является абсолютно точной, но и то, что в нашем распоряжении имеется значительно более точная релятивистская механика.
Благодаря этому в теоретической физике рядом с более точными теориями прекрасно уживаются теории, неточность которых давно установлена,— поскольку они вполне сохраняют свою ценность для определенной области явлений (такие теории обычно называются классическими). Всякая логически замкнутая теория, верность которой была с известной степенью точности экспериментально доказана, никогда не теряет своего значения, и всякая более точная последующая теория охватывает ее как приближенный результат, справедливый в некоторых частных случаях. Это, конечно, не относится к теориям, страдающим внутренними противоречиями, которые всегда имеют значение только одного из этапов развития теоретической физики.
Таким образом, приближения играют очень важную роль в общих физических теориях. Не менее велика, однако, их роль и при выводе из общих теорий конкретных физических законов. Слишком точные вычисления с учетом несущественных факторов не только бесплодны и излишне усложняют результат расчета, но могут даже привести к тому, что существующие в данном явлении закономерности вообще выпадут из рассмотрения. Дело в том, что приближенным может оказаться не только данный конкретный вид закона, но и само существование функциональной связи между характеризующими данное явление величинами, и за пределами данной точности эти величины могут встречаться в произвольных комбинациях.
Определение степени приближения, с которой данное явление должно рассматриваться, чрезвычайно существенно при его теоретическом исследовании. Особенно грубой ошибкой является тщательное вычисление с учетом всевозможных мелких поправок и применением слишком точных общих теорий в случаях, когда одновременно с этим пренебрегают гораздо большими величинами.
