никакого значения не имеет, но важна определенность) и обозначают буквой z, как на рис. 11.2 слева. Два возможных значения компоненты спина противоположны друг другу, и с учетом того, как мы выбрали направление, удобными оказываются сокращенные (и наконец-то общепринятые) обозначения: стрелка вверх ↑ вместо 1/2 ħ и стрелка вниз ↓ вместо –1/2 ħ. Обычно мы не заменяем числа специальными значками типа стрелки или смайлика, потому что в большинстве случаев это неудобно; но ничто и не запрещает нам так делать, а в данном случае обозначения оказываются очень подходящими к ситуации. Каждой из двух «вещей» ↑ и ↓ (двум возможностям для компоненты спина вдоль z) отвечает свое состояние, |↑⟩ и |↓⟩. Пока ничего не произошло, мы всего лишь ввели обозначения. Но как нам при этом относиться, скажем, к состоянию |↑⟩ + |↓⟩? И вообще ко всем a · |↑⟩ + b · |↓⟩ – это какие-то искусственные образования, «ничему не соответствующие»? Ничего подобного, очень даже соответствующие. Здесь-то и чудо.
Значки ↑ и ↓ просто заменяют числа. Это еще не состояния
На предыдущей прогулке мы говорили, что спин электрона описывается парой чисел, называемых спинорами. Это и есть числа a и b в записи состояния a · |↑⟩ + b · |↓⟩. И спиноры, как мы тоже обсуждали, ведут себя по строго определенным правилам при поворотах в пространстве. Эти правила говорят, что при повороте на 90° от направления z к направлению x (см. рис. 11.2) состояние |↑⟩ переходит в сумму |↑⟩ + |↓⟩. Внимание: состояния |↑⟩ и |↓⟩ не живут в трехмерном пространстве, но реагируют на повороты в нем так, как им велит это делать математика спиноров (те самые правила поведения при поворотах, которые делают спиноры спинорами; технически за это отвечает формализм, который придумал Паули). В результате описываемого поворота на 90° «простое высказывание» |↑⟩ о компоненте спина вдоль z превращается в «составное высказывание» |↑⟩ + |↓⟩. Но ведь в пространстве мы просто «положили на бок» прибор, который измеряет компоненту спина; прибор по-прежнему сообщает нам, что компонента спина каждого данного электрона имеет одно из двух возможных значений, а поскольку он лежит на боку, это теперь компонента вдоль направления x. Мы делаем вывод, что сумма состояний |↑⟩ + |↓⟩ описывает состояние электрона с компонентой спина «вперед» по направлению x. То, что выглядело как «составное высказывание», оказалось таким же «элементарным высказыванием», как и |↑⟩ и |↓⟩, с которых мы начали, но с «повернутой точки зрения»[246]. Глядя на то, как изображено направление x на рис. 11.2, можно обозначить состояние с компонентой спина «вперед» вдоль направления x как |↙⟩. Итак, |↑⟩ + |↓⟩ = |↙⟩.
Рис. 11.2. Измерение спина электрона. Компонента спина может иметь определенное значение только вдоль какого-то одного направления в пространстве, например z. Измерение осуществляется за счет того, что электроны с двумя возможными значениями компоненты спина отклоняются магнитами в противоположные стороны
Это важное место стоит пройти еще раз. Мы соединили знаком плюс два состояния |↑⟩ и |↓⟩. Первое из них – это состояние электрона с компонентой спина вдоль направления z, равной 1/2 ħ, а второе – состояние с компонентой спина вдоль z, равной –1/2 ħ. Это самые элементарные высказывания о компоненте спина; их соединение, казалось бы, должно породить что-то более сложное, но в действительности оказывается таким же элементарным «высказыванием»: компонента спина электрона вдоль другого направления, а именно x, равна 1/2 ħ. Аналогичным образом разность |↑⟩ – |↓⟩ (которую, разумеется, мы получаем, беря сумму |↑⟩ + (–1) · |↓⟩) оказывается состоянием электрона, компонента спина которого вдоль x равна –1/2 ħ, т. е. противоположна направлению оси x; напрашивается обозначение |↗⟩ для этого состояния. Снова получается, что |↑⟩ – |↓⟩ = |↗⟩: составное высказывание в терминах компоненты спина вдоль z оказывается простейшим высказыванием о компоненте спина вдоль x.
Арифметике абстрактных состояний отвечают повороты в пространстве
Если мы думали, что сумма или разность «слов» – уже не «слова», а «фразы», то теперь видим, что в этом странном языке нашлись «слова», целиком выражающие эти «фразы». «Фразы» и «слова» – одно и то же. А если бы мы исходно выбрали направление x, чтобы определять значения компоненты спина, то простейшими нам казались бы состояния |↗⟩ и |↙⟩, а их сумма и разность выглядели бы как что-то сложносочиненное. Но их сумма – это состояние электрона с компонентой спина, направленной вверх по z, а их разность – состояние с компонентой спина вниз по z.[247] И это частный случай общей ситуации, применимой к описанию не только спина, но и разнообразных других свойств квантовых объектов: в зависимости от того, какие состояния системы нам более интересны по тем или иным причинам (например, в силу постановки эксперимента), может оказаться предпочтительным тот или иной набор «вещей»; им будет тогда соответствовать набор особо «любимых» состояний системы. Но другой выбор «вещей» приведет к другому набору «любимых» состояний, и каждый из двух наборов выражается через другой с помощью подходящих сумм с умножениями. Ни один из наборов с принципиальной точки зрения не лучше и не хуже другого.
Внезапно открываются довольно захватывающие перспективы, прежде всего – по преодолению вражды. Компоненты спина вдоль любых двух различных направлений враждуют. Но простая арифметика позволяет взять оба возможных состояния с определенным значением компоненты спина вдоль направления z и сконструировать из них состояние с компонентой спина «вперед» или «назад» не только вдоль оси x, но и вдоль любого выбранного направления в пространстве, просто выбирая числа a и b в состоянии a · |↑⟩ + b · |↓⟩ (как именно выглядит соответствие между парой чисел и направлением в трехмерном пространстве, снова определяется математически). Полная демократия! Любая «фраза» оказывается «словом» – состоянием, отвечающим определенной компоненте спина вдоль какого-то направления.
Состояния/волновые функции живут где-то отдельно, не вместе с «вещами», определенно не в физическом трехмерном пространстве. На простом примере спина электрона нам только что приоткрылось происходящее там у них. Суммы различных состояний («суммы с умножениями на числа») – тоже полноценные состояния. В результате состояний оказывается очень много, и среди них отыскиваются и
