Частный коэффициент корреляции между результативной переменной у и факторной переменной х2 при постоянстве факторных переменных х1 и х3:
Частный коэффициент корреляции между результативной переменной у и факторной переменной х3 при постоянстве факторных переменных х1 и х1:
Частные коэффициенты корреляции второго порядка построены с использованием частных коэффициентов корреляции первого порядка.
Следовательно, частный коэффициент корреляции порядка t может быть построен через частный коэффициент корреляции (t-1) порядка. Формулы, построенные через указанную взаимосвязь, называются рекуррентными.
При анализе модели множественной регрессии с n факторными переменными, частный коэффициент корреляции (n-1) порядка рассчитывается по общей формуле:
Частные коэффициенты корреляции, вычисленные по рекуррентным формулам, изменяются в пределах от минус единицы до плюс единицы.
32. Построение частных коэффициентов корреляции для модели множественной регрессии через показатель остаточной дисперсии и коэффициент множественной детерминации
Помимо рекуррентных формул, которые используются для построения частных коэффициентов корреляции для моделей множественной регрессии, возможно также построение этих показателей с помощью показателя остаточной дисперсии.
В случае линейной модели парной регрессии показатель остаточной дисперсии определяется по формуле:
где
– это оценка модели парной регрессии с независимой переменной х1.
Если в линейную модель парной регрессии включить новую независимую переменную х2, то можно вычислить показатель остаточной дисперсии для линейной модели регрессии с двумя независимыми переменными:
где
– это оценка модели регрессии с двумя независимыми переменными х1 и х2.
Вне зависимости от качества построенной линейной модели двухфакторной регрессии будет справедливо неравенство вида:
Тогда величину
можно охарактеризовать как долю сокращения остаточной дисперсии за счёт включения в модель регрессии новой независимой переменной х2. Чем больше величина данного показателя, тем сильнее дополнительная переменная х2 влияет на результативную переменную у и на качество модели регрессии в целом.
Для линейной модели двухфакторной регрессии частный коэффициент корреляции между независимой переменной х2 и результативной переменной у при постоянном значении независимой переменной х1 через показатель остаточной дисперсии определяется по формуле:
Для модели множественной регрессии с n независимыми переменными частный коэффициент корреляции (n-1) порядка независимой переменной х1 и результативной переменной у при постоянном значении остальных независимых переменных, включённых в модель, определяется по формуле:
Показатель остаточной дисперсии результативной переменной и коэффициент множественной детерминации связаны отношением:
Если в формуле частного коэффициента корреляции выразить остаточную дисперсию результативной переменной с помощью коэффициента множественной детерминации, то для модели множественной регрессии с n независимыми переменными частный коэффициент корреляции в общем виде можно определить по формуле:
Частные коэффициенты корреляции, вычисленные через показатель остаточной дисперсии или коэффициент множественной детерминации, изменяются в пределах от нуля до единицы.
Частный коэффициент корреляции для модели множественной регрессии в общем случае характеризует степень зависимости между результативной переменной и одной из факторных переменных при постоянном значении остальных независимых переменных, включённых в модель регрессии.
33. Коэффициент множественной корреляции. Коэффициент множественной детерминации
Если частные коэффициенты корреляции модели множественной регрессии оказались значимыми, т. е. между результативной переменной и факторными модельными переменными действительно существует корреляционная взаимосвязь, то в этом случае построение множественного коэффициента корреляции считается целесообразным.
С помощью множественного коэффициента корреляции характеризуется совокупное влияние всех факторных переменных на результативную переменную в модели множественной регрессии.
Коэффициент множественной корреляции для линейной модели множественной регрессии с n факторными переменными рассчитывается через стандартизированные частные коэффициенты регрессии и парные коэффициенты корреляции по формуле:
где r (yxi) – парный (не частный) коэффициент корреляции между результативной переменной у и факторной переменной xi
Коэффициент множественной корреляции изменяется в пределах от нуля до единицы. С его помощью нельзя охарактеризовать направление связи между результативной и факторными переменными. Чем ближе значение множественного коэффициента корреляции к единице, тем сильнее взаимосвязь между результативной и независимыми переменными, и наоборот, чем ближе значение множественного коэффициента корреляции к нулю, тем слабее взаимосвязь между результативной и независимыми переменными.
Коэффициентом множественной детерминации R2 называется квадрат множественного коэффициента корреляции:
Коэффициент множественной детерминации характеризует, на сколько процентов построенная модель регрессии объясняет вариацию значений результативной переменной относительно своего среднего уровня, т. е. показывает долю общей дисперсии результативной переменной, объяснённой вариацией факторных переменных, включённых в модель регрессии.
Коэффициент множественной детерминации также называется количественной характеристикой объяснённой построенной моделью регрессии дисперсии результативной переменной. Чем больше значение коэффициента множественной детерминации, тем лучше построенная модель регрессии характеризует взаимосвязь между переменными.
Для коэффициента множественной детерминации всегда выполняется неравенство вида:
Следовательно, включение в линейную модель регрессии дополнительной факторной переменной xn не снижает значения коэффициента множественной детерминации.
Коэффициент множественной детерминации может быть определён не только как квадрат множественного коэффициента корреляции, но и с помощью теоремы о разложении сумм квадратов по формуле:
где ESS (Error Sum Square) – сумма квадратов остатков модели множественной регрессии с n независимыми переменными:
TSS (TotalSumSquare) – общая сумма квадратов модели множественной регрессии с n независимыми переменными:
Однако классический коэффициент множественной детерминации не всегда способен определить влияние на качество модели регрессии дополнительной факторной переменной. Поэтому наряду с обычным коэффициентом рассчитывают также и скорректированный (adjusted) коэффициент множественной детерминации, в котором учитывается количество факторных переменных, включённых в модель регрессии:
где n – количество наблюдений в выборочной совокупности;
h – число параметров, включённых в модель регрессии.
При большом объёме выборочной совокупности значения обычного и скорректированного коэффициентов множественной детерминации отличаться практически не будут.
34. Проверка гипотезы о значимости частного и множественного коэффициентов корреляции
Предположим, что по данным выборочной совокупности была построена линейная модель множественной регрессии. Задача состоит в проверке значимости частных и множественного коэффициентов корреляции.
Рассмотрим процесс проверки значимости частных коэффициентов корреляции.
Основная гипотеза состоит в предположении о незначимости частных коэффициентов корреляции, т. е.
Н0:r(yxi/x1…xn-1)=0.
Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в предположении о значимости частных коэффициентов корреляции, т.е.
Н1:r(yxi/x1…xn-1)≠0.
Данные гипотезы проверяются с помощью t-критерия Стьюдента.
Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают со значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента и называется критическим.
