Как видно из этого графика, пик скоростей находится вокруг наиболее вероятной скорости, и чем больше мы отдаляемся от него, тем сложнее найти частицу с такой скоростью. Результат совпадает с тем, что нам говорит здравый смысл. Представим себе, что у нас есть частица, которая движется очень быстро; рано или поздно она столкнется с другой и передаст ей часть своей энергии, после чего замедлится. Если частица движется очень медленно, рано или поздно она столкнется с другой, более быстрой, и ее скорость увеличится. А частица, движущаяся со средней скоростью, скорее столкнется с частицами, движущимися с той же скоростью, и, следовательно, она не приобретет и не потеряет энергию.
Хотя распределение скоростей, которое мы видели выше, было предложено Джеймсом Клерком Максвеллом (1831–1879), именно Больцман подвел под его идеи теоретическое обоснование, поэтому его называют распределением Максвелла — Больцмана. В его математическом выражении используется экспоненциальная функция у основанная на числе Эйлера, е. Число е — это иррациональное число, приблизительно равное 2,71828. Вычисляется оно сложением следующего бесконечного ряда:
Точно так же как 23 — это 2·2·2, е можно возвести в любую степень: е3 = = е·е·е. Распределение Максвелла — Больцмана выражается с помощью экспоненциальной функции следующим образом:
где m — масса молекул газа, k — постоянная Больцмана, Т — температура газа и v — скорость молекулы. Экспонента быстро растет при росте v — поскольку 210 намного больше, чем 22. Это означает, что вероятность найти молекулы с очень высокими скоростями должна быть очень маленькой. С другой стороны, когда v равна нулю, вероятность равна ему же, и это означает, что невозможно найти молекулу, которая находилась бы в состоянии покоя.
* * *
ЧИСЛО ЭЙЛЕРА
Число Эйлера — одно из самых важных в математике. Кроме того, что это иррациональное число, у него есть ряд поистине волшебных свойств. Возможно, самое интересное из них то, что экспоненциальная функция, еx равна своему угловому коэффициенту. Возьмем следующий график.
Угловой коэффициент функции — это точка, которая определяется как отношение между возрастанием функции по высоте и возрастанием по горизонтали. На этом графике мы можем вычислить угловой коэффициент в каждой точке. Итак, если мы представим угловой коэффициент функции х, то получим тот же график.
Число Эйлера связано и с другим известным числом, π. Существует уравнение, связывающее е с π и мнимой единицей i, которая определяется как квадратный корень из -1:
eiπ - 1 = 0
Многие математики считают это уравнение одним из самых элегантных в истории науки, поскольку в нем самые важные числа собраны в простом тождестве.
* * *
Другие виды статистики
До сих пор мы считали, что частицы газа подобны бильярдным шарам. Даже если они очень похожи, мы можем каким-то образом различить их. Например, мы можем снять их на видео и следить за их изменением или пометить их фломастером. Однако это предположение, которое, кажется, соответствует здравому смыслу, не работает для очень маленьких частиц, таких как атомы или молекулы. Не существует способа отличить два атома водорода, дело выглядит так, будто это одна и та же частица, которая одновременно находится в двух разных местах. Это справедливо для любой элементарной частицы — электрона, протона или фотона.
Указанная тонкость не имеет значения при анализе свойств газа комнатной температуры, но становится очень важной в изучении газовой динамики при низких температурах и высокой плотности. В этой ситуации распределение Максвелла — Больцмана дает ошибочный результат для распределения скоростей молекул.
Этот факт обязал физику полностью трансформировать математическую теорию, которая использовалась для описания объекта, образованного из нескольких частиц, благодаря чему были созданы новые типы статистики: статистика Бозе — Эйнштейна и статистика Ферми — Дирака, которые мы рассмотрим позже. Несмотря на то что основание этих дисциплин лежит в области физики, они могут считаться математическими инструментами.
Предположим, что у нас есть газ, состоящий из нескольких молекул. Возьмем две из них и заменим одну на другую. Изменилось ли при этом состояние газа?
Классическая физика утверждает, что изменилось: хотя обе частицы на практике неразличимы, им можно, например, дать имена — «Андрей» и «Филипп». В первом случае Андрей стоит слева, а Филипп справа, а во втором случае — наоборот. А поскольку микросостояние изменилось, то и целая вселенная, в которой Андрея и Филиппа поменяли местами, совсем не та же самая, что была до этой перемены.
Квантовая механика, то есть теория, описывающая микроскопический мир, дает другой ответ. Единственное, что нам важно во время изучения частицы, это ее степени свободы — числа, нужные для описания ее состояния. Например, состояние молекулы задано ее импульсом, положением и вращением вокруг своей оси. Если мы заменим ее на идентичную молекулу с тем же импульсом, положением и вращением, не существует способов различить эти частицы. Поскольку все получение информации о Вселенной сводится к замерам, обе частицы — на самом деле одна и та же. Даже в теории между ними невозможно найти различия.
Есть и еще одна важная тонкость. В квантовой механике известно два типа частиц: бозоны и фермионы, которые отличаются типом вращения вокруг своей оси. Оказывается, что эти частицы имеют совершенно разные статистические свойства: два бозона могут быть одновременно в одном и том же состоянии, в то время как два фермиона — нет. Из-за этого макроскопическое поведение субстанций, образованных бозонами либо фермионами, абсолютно различно.
Когда мы говорим, что два бозона могут находиться в одном и том же состоянии, мы имеем в виду, что, например, у нас может быть два фотона в одном и том же месте с одинаковой энергией. Это справедливо не только для фотонов, но и для твердых объектов. Примером этого является гелий-4 — атом гелия с двумя протонами и двумя нейтронами.
В газе комнатной температуры тот факт, что два бозона могут быть в одном и том же состоянии, не имеет значения: при высоких температурах и низких концентрациях существует большой диапазон доступной энергии и положений, так что очень редко две частицы газа находятся в одном и том же состоянии. Однако по мере увеличения плотности газа его частицы располагаются все ближе друг к другу, но пока не соприкасаются. Если температура очень низкая, молекулы также имеют довольно небольшую энергию, и это означает, что число доступных энергий также очень невелико. Именно здесь вступает в игру статистика Бозе — Эйнштейна.
Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, два бозона могут быть в одном и том же состоянии. То есть если сильно охлаждать газ и одновременно сжимать его, наступит момент, когда молекулы газа окажутся очень близко друг к другу и будут иметь очень маленький диапазон доступной энергии. Это приведет к тому, что некоторые молекулы войдут в одно и то же состояние, то есть будут иметь одно и то же положение и энергию. Если мы достаточно охладим газ, мы сможем добиться того, что это сделают все молекулы, то есть все вещество газа будет вести себя как одна-единственная молекула, и это состояние материи отличается от газообразного, твердого или жидкого. Оно называется конденсатом Бозе — Эйнштейна. За последние десятилетия конденсат перестал быть теоретическим курьезом и может быть создан в лабораторных условиях.
На следующем графике показана вероятность нахождения бозона с некоторой энергией для низких температур в сравнении с той же вероятностью по распределению Максвелла — Больцмана. При высоких температурах оба распределения совпадают.
Число частиц на энергетический уровень для распределений Бозе — Эйнштейна (темно-серый) и Максвелла — Больцмана (светло-серый). Пунктиром показана статистика Ферми — Дирака.
Если же частицы, образующие газ, являются фермионами, их поведение при высокой плотности и низких температурах сильно отличается. Фермионы следуют другому типу статистики, называемой статистикой Ферми — Дирака. В этом случае два фермиона не могут быть в одном и том же состоянии. Пример фермиона — электрон, частица с отрицательным зарядом, которая вращается вокруг атомного ядра. Согласно статистике Ферми — Дирака, у двух электронов, вращающихся вокруг ядра, должны быть различные состояния, поэтому на каждый энергетический уровень может быть только два электрона: при одной и той же энергии у них будет разное внутреннее вращение. В результате не все электроны могут располагаться на орбите, ближайшей к атомному ядру, что, в свою очередь, порождает химические свойства вещества. То есть химия — это прямое следствие из статистики Ферми — Дирака.
