Пример, в котором статистика Ферми — Дирака получает огромное значение, — это случай белого карлика. Белый карлик — остаток такой звезды, как Солнце, которая, избавившись от внешних слоев, остается с чрезвычайно плотным ядром. Ядро сжимается из-за гравитации, создавая огромное давление. При сжатии ядра электронные оболочки атомов разрушаются, и вещество ядра превращается в электронно-ядерную плазму. Однако при достижении некоторой массы звезды наступает момент, когда силы гравитации уравновешиваются силами давления, которое называется давлением вырожденного газа. Это давление препятствует превращению белого карлика в черную дыру — область пространства, из которой ничего не может вырваться. Плотность белого карлика огромна: чайная ложка его вещества весит более тонны.
* * *
КОНДЕНСАТЫ БОЗЕ — ЭЙНШТЕЙНА, СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Некоторые конденсаты Бозе — Эйнштейна, если их достаточно охладить, ведут себя как сверхтекучие жидкости. Сверхтекучая жидкость — это жидкость с нулевой вязкостью: она никак не сопротивляется изменению формы, и из-за этого ее поведение очень отличается от поведения обычной жидкости. Например, если поместить сверхтекучую жидкость в сосуд, она будет стремиться выйти из него и собраться на земле, где потенциальная энергия меньше.
Наглядное представление способности жидкого гелия выходить за пределы тел, с которыми он контактирует.
Хотя электроны являются фермионами, а не бозонами, электроны некоторых металлов могут соединяться в пары, так называемые пары Купера, которые ведут себя как бозоны. При низких температурах эти пары создают сверхтекучую жидкость электронов, и это означает, что подобный материал может проводить электричество без какого-либо сопротивления. Такое свойство называется сверхпроводимостью и имеет большое технологическое применение: с ним, например, связана возможность поддерживать в воздухе магнитопланы или конструировать мощные магниты Большого адронного коллайдера — ускорителя частиц, построенного в ЦЕРНе.
* * *
Хотя статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна были разработаны для работы с физическими явлениями, их применение (впрочем, это справедливо для любого хорошего математического инструмента) вышло далеко за пределы физики. Например, статистика Бозе — Эйнштейна используется при изучении комплексных сетей.
Комплексную сеть можно рассматривать как ряд узлов, связанных между собой некоторыми законами, регулирующими появление и связь новых узлов. Существует большое количество систем, которые можно смоделировать как комплексные сети, например группа друзей какого-то человека: каждый индивид связан со своими друзьями, которые, в свою очередь, связаны с другими, и эти связи образуют развитую сеть. Любопытный результат теории комплексных сетей состоит в том, что у человека обычно меньше друзей, чем у его друзей в среднем. Это можно объяснить тем, что некоторые узлы сети стремятся сконцентрировать на себе множество связей, и, следовательно, вероятность быть связанным с таким узлом выше, чем с узлом с небольшим количеством связей.
Это справедливо и для числа людей, с которыми у человека были в течение жизни любовные отношения: теория комплексных сетей утверждает, что в среднем у партнера таких отношений было больше. Это связано с тем, что гораздо вероятнее образовать пару с человеком, у кого было много других партнеров, чем с тем, у кого их было очень мало.
Теорию сетей можно использовать и для моделирования мозга, при этом нейроны рассматриваются как узлы, а также для того, чтобы математически представить связи между людьми в социальных сетях или объяснить число ссылок между сайтами. Другое важное применение, возникшее совсем недавно, заключалось в анализе концентрации богатства: Джеймс Глаттфельдер (1972) провел исследование, в котором пытался выяснить, кому принадлежит большинство предприятий планеты.
Для этого он использовал комплексную сеть, в которой узлы были компаниями или индивидами, а связи между узлами устанавливались в зависимости от процентного соотношения владения. Глаттфельдер выяснил, что 43 тысячи проанализированных компаний контролируются одним процентом членов общества, образуя взаимосвязанную и нестабильную сеть.
В 2001 году Джинестра Бьянкони, будучи еще аспиранткой Университета Нотр-Дам, поняла, что существуют идеальные параллели между комплексными сетями и конденсатами Бозе — Эйнштейна. Если представить узлы сети в качестве вариантов доступной энергии, а связи между ними — в качестве частиц, становится очевидно, что сеть ведет себя как бозонный газ при низкой температуре: частицы стремятся к состояниям с более низкой энергией. Этот эффект проявляется во всех типах сетей, как социальных, так и экономических. Например, в случае с интернетом и рынком существует эффект, называемый преимуществом первого пользователя, при котором первая компания, создающая некоторый тип продукта, или первые пользователи социальной сети получают наибольшее количество преимуществ. Это также соответствует нашей модели, в которой этих первых пользователей можно считать состояниями низкой энергии системы, что создает скопление частиц или появление связей между ними. Пользуясь этой моделью, можно объяснить различные вещи: от структуры друзей в социальных сетях до связи между ссылками на сайты.
Статистические суммы
Изучение газовой динамики подтолкнуло создание других математических инструментов, имеющих большое значение для изучения любого типа систем. Пример этому — так называемые статистические суммы газа. Для того чтобы понять, что такое статистическая сумма, сначала мы должны остановиться на некоторых тонкостях микро- и макросостояний.
Вспомним, что число микросостояний, совместимых с макросостоянием, задано различными комбинациями энергии, которую могут иметь молекулы. Как только мы получили это значение, можно задать вопрос, каково распределение энергии, которая дает наибольшую вероятность, то есть какое из макросостояний наиболее вероятно. В конце концов мы обнаружим, что скорости частиц должны быть распределены определенным образом, как было показано ранее.
Исходя из распределения скоростей, можно сделать вывод, что число частиц с определенным уровнем энергии при увеличении энергии уменьшается. Значит, можно создать математический объект, который бы кодифицировал все возможности получения каждого значения энергии. Этот объект называется статистической суммой и выражается также с помощью экспоненциальной функции. Если энергия частицы i равна Еi, то статистическая сумма Z равна:
Каждый член статистической суммы пропорционален вероятности найти частицу с такой энергией, таким образом, статистическая сумма кодифицирует всю информацию о нашей системе. Благодаря этому мы можем использовать ее для интересующих нас расчетов: например, общей энергии или вероятности нахождения газа в состоянии, отличном от наиболее вероятного.
Газ не имеет памяти
Важное свойство статистической суммы заключается в том, что ее состояние не зависит от прошлого. Газ не помнит того, что случилось две секунды назад, и его изменение абсолютно не зависит от этого — это известно как Марковское свойство, и им обладает любая система, которую можно описать с помощью статистической суммы.
То, что газ обладает Марковским свойством, означает, что как только он придет в состояние равновесия, будет невозможно узнать, каким образом он в него пришел: информация, касающаяся прошлого газа, исчезнет. Два газа одного вещества одной и той же температуры, давления и объема неотличимы, даже если один пришел к этому состоянию с помощью заморозки, а другой — путем разогрева. В других классических системах, таких как бильярдные шары, Марковское свойство не соблюдается: всегда можно восстановить последовательность. В случае с газом теоретически это также можно было бы сделать, но на практике поведение этого состояния материи непредсказуемо.
Марковское свойство довольно полезно в некоторых областях, например в таких как искусственный интеллект, когда необходимо добиться того, чтобы компьютер рассуждал, словно человек, а это обязывает программиста допустить в рассуждениях машины определенную степень случайности. Один из способов сделать это — взять законы логики и применить их для получения вероятностного поведения (такой способ называется логической сетью Маркова).
Пример логического закона — это принцип транзитивности: если А предполагает В, а В предполагает С, то А предполагает С. Однако в логике нет места неопределенности: А либо истинно, либо ложно, но оно не может быть истинным частично. Программа искусственного интеллекта должна уметь управлять неопределенностью, а для этого ей нужно адаптировать законы логики к вероятности. Например, у А может быть только одна вероятность быть истинным. Кроме того, А может предполагать В только иногда, и то же самое может происходить с С. Тогда мы получим, например, такую логическую цепочку: если А обычно предполагает В, а В иногда предполагает С, то А иногда предполагает С. Этот тип вероятностных систем может быть описан с помощью статистических сумм, похожих на те, что мы вывели для газов.
