— действительно единственные правильные многогранники. Из нее же следует, что любой выпуклый шарнирный многогранник не изгибается. Этот последний факт известен под названием теоремы о жесткости выпуклых многогранников. Интересно, что предположение о жесткости не выполняется для невыпуклых шарнирных многогранников, и этот факт был установлен только в 1877 году. Американский математик Роберт Коннелли построил первый пример изгибаемого невыпуклого многогранника44.
Последний значительный вклад греков в теорию правильных тел связан с именем Архимеда из Сиракуз. Архимед ввел понятие полуправильных тел. Полуправильное тело, как и правильное, — это выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники, но эти многоугольники необязательно должны быть одного типа. Кроме того, требуется, чтобы все грани с одинаковым числом сторон были конгруэнтны, а все вершины идентичны (т. е. порядок следования граней, сходящихся в каждой вершине, одинаков, и любую вершину можно повернуть так, что она совпадет с любой другой вершиной, при этом многогранник перейдет в себя). На рис. 5.5 показаны три полуправильных многогранника. Работа Архимеда утрачена, но из следующего отрывка Паппа (ок. 290–350 н. э.) мы знаем, что Архимед нашел тринадцать полуправильных тел:
Хотя можно представить себе геометрические тела с самыми разными гранями, наибольшего внимания заслуживают те, что имеют правильную форму. К ним относятся не только пять тел, найденных богоподобным Платоном. но также тела, общим числом тринадцать, открытые Архимедом и составленные из равносторонних и равноугольных, но не одинаковых многоугольников45.
Рис. 5.5. Три полуправильных многогранника Архимеда
Весь набор из тринадцати многогранников был заново открыт в 1619 году Кеплером, который не знал о работе Архимеда. Как Теэтет доказал, что пять платоновых тел — единственные правильные многогранники, так Кеплер доказал, что существует всего тринадцать полуправильных многогранников. Следует отметить, что существует бесконечно много многогранников, называемых призмами и антипризмами, которые удовлетворяют условиям полуправильности, но исторически не считаются полуправильными телами. В настоящее время полуправильные многогранники называются архимедовыми телами.
После упадка греческой цивилизации центр математической жизни переместился в Персию (современный Ирак[5]). Под покровительством монарха арабские математики перевели многие классические греческие трактаты, в т. ч. работы Евклида, Архимеда, Аполлония, Диофанта, Паппа и Птолемея. Но они были больше, чем хранителями греческих текстов. Они создали алгебру и внесли большой вклад в теорию чисел, системы счисления и тригонометрию. Арабский период доминирования в математике продолжался приблизительно до XV столетия.
Арабские математики развили геометрию, но практически ничего не добавили к теории многогранников. Математике пришлось ждать, когда Европа выйдет из периода Средневековья, — лишь тогда интерес к многогранникам пробудился с новой силой.
Приложения к главе
38. Russell (1967), 37–38.
39. Quoted in Bulmer-Thomas (1976).
40. Там же.
41. van der Waerden (1954), 173.
42. Euler (1862).
43. Cauchy (1813a).
44. Connelly (1977).
45. Quoted in Bulmer-Thomas (1967), 195.
Глава 6
Кеплер и его многогранная Вселенная
Иоганн Кеплер — одна из выдающихся переломных фигур в истории науки: его ум был наполовину поглощен средневековыми фантазиями, но другая половина вынашивала начатки математической науки, сформировавшей современный мир.
— Джордж Симмонс46
Пока арабы развивали математику, Европа погрузилась во мрак Средневековья. Лишь очень немногие европейцы получали формальное образование; великие работы классической античности были почти забыты; ученых-математиков почти не было. В монастырях обучали лишь простейшим основам геометрии и арифметики. В течение 400 лет корпус математических знаний не пополнился ничем сколько-нибудь значительным.
И только с приходом европейского Возрождения в XV веке в математике стало заметно оживление. С подъемом гуманистического движения снова возник интерес к греческим классикам — сначала к греческой литературе, а затем и к математике. Романтика греческой интеллектуальной жизни прекрасно изображена на фреске Рафаэля «Афинская школа» (1510–1511), где показано воображаемое собрание Пифагора, Евклида, Сократа, Аристотеля, Платона и других греческих ученых (рис. 6.1).
Важной особенностью искусства эпохи Возрождения была перспектива. Многогранники и их остовы стали отличными объектами для демонстрации мастерства владения перспективой. Такие художники, как Пьеро делла Франческа, Альбрехт Дюрер и Даниэле Барбаро, внесли вклад как в математику, так и в искусство своими сочинениями о перспективе на примере многогранников. Среди множества художников, запечатлевших многогранники на своих картинах (см. рис. 6.2 и 6.3), были Леонардо да Винчи, который иллюстрировал книгу Лука Пачоли «Божественная пропорция» (1509); Венцель Ямницер, создавший тонкие, изысканные гравюры реальных и воображаемых многогранников; Якопо де Барбари, написавший портрет Луки Пачоли с многогранником; Паоло Уччелло, который включал многогранники в свои картины и мозаики на полу собора Святого Марка в Венеции; Фра Джованни да Верона, создавший восхитительные интарсии (мозаики из дерева), и, как мы видим (рис. 6.5–6.8), Иоганн Кеплер, физик и математик.
Рис. 6.1. Рафаэль, «Афинская школа»
Подобно ученым и художникам Возрождения, жившим за двести лет до него, Кеплер был очарован многогранниками. В наши дни мы знаем Кеплера в основном как астронома, прославившегося законами движения планет (которые описывают эллиптическое движение планет вокруг Солнца), но это далеко не единственный его вклад в науку и математику. Его идеи бесконечного и бесконечно малого предвосхитили математический анализ. Он опубликовал работу по оптике. Он был одним из первых пользователей логарифмов. И Кеплер внес вклад, как реальный, так и причудливый, в теорию многогранников.
Кеплер родился 27 декабря 1571 г. в маленьком городке Вайль-дер-Штадт, земля Вюртемберг, Священная Римская империя; ныне он находится в Германии. Жизнь его складывалась очень трудно: болезненный ребенок, выросший в неблагополучной семье, подвергался преследованиям на религиозной почве; его первая жена и любимый сын умерли от оспы, мать обвинили в колдовстве, а скончался он в возрасте 58 лет на пути к императору в надежде получить хотя бы часть жалованья. Несмотря на эти трудности, Кеплер был глубоко религиозным человеком. Он собирался стать лютеранским пастором, но в двадцать три года ушел из семинарии ради должности преподавателя математики и астрономии. Религиозные верования были очень важны для него, и, как видно из его сочинений, он часто черпал в них вдохновение для научной работы. Один из биографов Кеплера, Артур Кёстлер, писал: «Это сосуществование мистического и эмпирического, необузданного полета мысли и упорных, терпеливых исследований оставалось… главной особенностью Кеплера с юных лет до старости»47.
Рис. 6.2. Усеченный икосаэдр и пентакисдодекаэдр Леонардо да Винчи из иллюстраций к «Божественной пропорции»
Кеплер верил, что Бог создал мир, исполненный математической красоты. Конечно, Кеплер был уверен, что существование всего пяти правильных многогранников должно иметь какой-то важный смысл; очевидно, они должны быть отражены в устройстве Вселенной. Кёстлер писал:
