Этим решением, разумеется, не исчерпывается все множество решений. Мы заранее предположили, что φ(0) = 0, и этим отбросили, например, решение φ = cos (ω0t), которое тоже легко угадать. Пользуясь линейностью, теперь можно найти и общее решение, складывая sin (ω0t) и cos (ω0t), умноженные на произвольные амплитуды. Ясно, что этим способом получается любое колебание, так как первое решение позволяет получить любое значение скорости в начальный момент, а второе — задать любое начальное положение.
Самое общее малое колебание можно получить и другим способом, понимание которого очень полезно. Заметим, что движение φ = φMsin(ω0t) можно наблюдать, пустив другие часы отсчитывать время в момент t0 (по старым часам). При новом отсчете времени то же самое движение будет выглядеть как φ = φMsin[ω0(t + t0)].
Нетрудно проверить, что это решение при любых t0 удовлетворяет уравнению 4.1. Отсюда следует, что если движение φ = φMsin(ω0t) возможно, то и движение φ = φMsin[ω0(t + t0)] также возможно. А это движение уже самое общее, поскольку подбором φM и t0 можно задать любые начальные значения скорости и положения.
Решение уравнения для малых колебаний можно найти совсем простым способом. Достаточно вспомнить геометрическое определение тригонометрических функций и закон движения материальной точки по окружности. Пусть точка М движется по окружности единичного радиуса с постоянной скоростью V = ω0 (рис. 4.2). Скорость V направлена по касательной, и ее проекция на ось Оу равна ω0cos α, где α = ω0t (радиан). Точка S совершает гармоническое движение, длина отрезка (OS) = sin ω0t, и ее скорость v равна проекции скорости V на ось Оу, т. е. v = ω0cos(ω0t). Полное ускорение α направлено к центру и равно (радиус окружности равен 1). Ускорение точки S равно проекции ускорения а на ось Оу, т. е. . Таким образом, ускорение точки S равно . Если взять (OS) = φ, получим φ" = . Обозначив , находим, что φ = sin(ω0t) есть решение линейного уравнения для малых колебаний маятника. Заодно вспомним, что период колебаний Т совпадает с временем полного оборота точки М по окружности, т. е. равен .
Маятник Галилея
Эта формула, хорошо известная из школьного курса физики, была впервые найдена Гюйгенсом *). С точностью до числового множителя она, по-видимому, была известна уже Галилею. История ее открытия интересно и подробно описана в упоминавшейся в книге С. Г. Гиндикина, но с одним утверждением, сделанным в ней, можно поспорить. Там сказано (с. 39): «Галилей обнаруживает связь между длиной маятника и частотой его колебаний: квадраты периодов колебаний относятся как длины. Вивиани пишет, что Галилей получил этот результат, «руководствуясь геометрией и своей новой наукой о движении», но никто не знает, каким мог быть теоретический вывод. Быть может, все же Галилей подметил закономерность экспериментально?» Принять это предположение было бы несправедливостью по отношению к Галилею. На опыте он лишь подметил зависимость периода от длины, но закон пропорциональности периода квадратному корню из длины нашел с помощью довольно остроумных рассуждений, которые представляют не только исторический интерес.
*) Гюйгенс получил ее другим способом, основанным на открытом им свойстве изохронности колебаний циклоидального маятника, а рассуждения, приведенные выше, использовал для определения ускорения точки, движущейся по окружности (о циклоидальном маятнике см. в книге: Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — 2-e изд. — М.: Наука, 1984. Библиотечка «Квант», вып. 14).
Основным для Галилея был найденный опытным путем закон равной продолжительности качаний маятников одинаковой длины, или изохронизм их колебаний (от греч. «изос» — равный, «хронос» — время). Для дальнейших рассуждений он использовал открытый им закон свободного падения и связь движения по наклонной плоскости со свободным падением. Если слегка модернизировать рассуждения Галилея, как это сделал Л. И. Мандельштам в своих замечательных «Лекциях по колебаниям», прочитанных в 1930 г., то можно даже получить формулу, похожую на формулу Гюйгенса.
Заменим движение грузика по дуге АО из состояния покоя свободным движением по хорде АО (рис. 4.3). Тогда время t, затраченное на это падение, равно времени свободного падения из О" в О. Это следует из известного Галилею факта, что ускорение движения по катету прямоугольного треугольника относится к g, как длина ОА относится к длине (OO") = 2l (сообразите, почему). Так как , то четверть периода колебаний равна , а полный период . Галилей рассуждал несколько иначе и ограничился утверждением о пропорциональности времен скатывания по хорде АО и движения маятника по дуге ОА времени свободного падения по вертикали О"О, откуда он и вывел пропорциональность этого времени квадратному корню из длины маятника.
Подлинное рассуждение Галилея легко понять из рис. 4.4. Время скатывания грузика по наклонной плоскости ОА1А2 пропорционально квадратному корню из длины ((OA1) для первого маятника и (ОА2) для второго). Эти длины ОА1 и ОА2 пропорциональны длинам маятников (O1O) = l1 и (O2O) = l2. С учетом закона свободного падения отсюда следует, что Т пропорционально для подобных колебаний (т. е. с одинаковым максимальным углом отклонения φ).
Используя изохронность, доказываем, что это верно для любых колебаний.
Для малых колебаний рассуждения Галилея совершенно правильны. Малые колебания действительно изохронны. Как мы теперь понимаем, изохронность прямо следует из линейности. Действительно, если колебание с единичной амплитудой определяется функцией φ = sin (ω0t), то колебание с амплитудой φM, в силу линейности, можно найти простым умножением на φM. Это и значит, что период остается неизменным. Остальная часть рассуждения Галилея особенно интересна тем, что в ней содержится намек на использование соображений о подобном поведении подобных систем. В ясном виде принцип подобия впервые сформулировали Ньютон и Гук. Это настолько полезная вещь, что стоит сделать небольшое отступление.
О подобии и размерностях
Малое с великим схоже,
Хоть и разнится на вид.
В. Гёте
Принцип подобия Ньютона—Гука оставался в забвении более ста лет, пока его не возродил Фурье в упоминавшейся выше работе «Аналитическая теория теплоты». Он ввел очень важные понятия размерности физической величины и принцип однородности по размерностям. Измерение всех механических величин сводится к измерению нескольких основных, в качестве которых обычно берут длину (размерность L), время (размерность Т) и массу (размерность М). Остальные величины назовем «производными».
Так, измерение площади сводится к измерению длин. Чтобы измерить площадь прямоугольника S, мы измеряем длины его сторон и перемножаем их. Если обе стороны умножить на одно и то же число с, то площадь умножится на с2 . Это означает, что размерность площади равна квадрату размерности длины, и этот факт можно записать с помощью «формулы размерности» [S] = L2. Формула размерности для S говорит нам, что площади любых фигур умножаются на одно число с2, если все линейные размеры умножить на с (например, при фотоувеличении). Если бы мы не знали, как вычислить площадь круга радиуса R, то из формулы размерности получили бы, что S = cR2, где c — некоторое число, о котором формула размерности ничего не говорит. Измерив c для какого-нибудь круга, мы с помощью формулы размерности будем знать, как вычислить площадь любого круга.
