Точно так же, исходя из определения скорости равномерного движения v = (x2 - x1)/(t2 - t1), можно написать для нее формулу размерности [v] = LT-1. Она просто означает, что при увеличении всех расстояний в cL раз и всех промежутков времени в cТ раз скорость умножится на число cL/cT. Обычно когда записываются формулы для физических величин, они всегда сопровождаются указанием на единицы измерения (S [см2], v [см • с-1] и т. д.). Это указание одновременно дает нам и размерность величины. Так как ускорение измеряется, скажем, в см • c-2, то формула размерности для ускорения есть, очевидно, [α] = LT-2.
Аналогично легко найти формулы размерности для силы [F] = MLT-2, для энергии [Е] = ML2T-2 и для других производных величин. Показатели степеней в формулах размерности называются показателями размерности. С ними можно обращаться, как с обычными показателями степени.
Например, возьмем формулу «сила = масса × ускорение». Если увеличить все линейные размеры в cL раз, промежутки времени в cT раз и массы в сM раз, то ускорение увеличится в cL/c2T раз, а сила в сMcL/c2T раз. Это мы и запишем с помощью формулы для силы. Очевидно, что ее можно получить и так: [F] = М [а] = MLT-2, т. е. с формулами размерности можно обращаться, как с обычными формулами.
Принцип однородности по размерностям требует чтобы обе части равенства, выражающего физический закон, имели одинаковые формулы размерности. Это правило хорошо известно и используется для проверки правильности полученных при вычислениях соотношений. Если мы, например, вычисляли объем какой-то сложной фигуры и получили для него выражение, измеряемое в квадратных сантиметрах (размерность L2), то нужно искать ошибку в вычислениях. Особенно интересно, однако, обратное применение этого принципа для получения самих формул.
Получим, например, закон Галилея для свободного падения тела. Пройденный за время падения t путь s может зависеть еще от массы тела m и от действующей на него силы mg. Мы можем предположить поэтому, что s = ktdmb(mg)с, где d, b, с, k — некоторые числа. Формула размерности для правой части есть TdMb+c[αс] = Mb+cTd-2cLс. Формула размерности для левой части [s] = L. Приравнивая показатели размерности, находим с = 1, d - 2с = 0, b + с = 0, т. е. d = 2, b = -1, так что s = kgt2 , где k — неизвестное число. Его уже нельзя определить из соображений подобия и размерности.
Найдем формулу Гюйгенса для линейных колебаний маятника. Период Т может зависеть от длины l, массы грузика m и действующей на грузик силы f, т. е. Т = dmafblc. Отсюда находим уравнение размерностей [Т] = Mα+bLb+cT-2b, т. е. а + b = 0, b + с = 0, -2b = 1. для периодов колебаний получаем формулу
При f = mg получается формула Гюйгенса, но с неизвестным множителем d.
Интересно, что этим способом мы получили более общую формулу для периода колебаний, которая годится не только для маятника в поле силы тяжести. Например, если грузик имеет электрический заряд q и помещен в однородное и постоянное электрическое поле Е между обкладками конденсатора, то на него действует сила f = mg + qE. Зная формулу Гюйгенса, мы определяем d и для маятника в электрическом поле сразу находим период колебаний
Конечно, таким простым способом можно получить полный ответ далеко не всегда. Рассмотрим нелинейные колебания маятника в поле силы тяжести. Теперь зависимостью периода от амплитуды, как мы сделали это выше, пренебречь нельзя. Небольшое размышление показывает, что наши рассуждения остаются верными, но d нельзя считать просто числом — d оказывается функцией безразмерного выражения, зависящего от амплитуды колебания, например, от отношения длины дуги sM = lφM к длине маятника l. Таким образом, для периода произвольных колебаний получаем
Так как при малых значениях φM должно быть d 1, то функция d(φM) удовлетворяет условию d(φM) → 1 при φM → 0.
Легко сообразить, что d(φM) 1. Действительно, [sin φ] [φ] и возвращающая сила для нелинейного маятника всегда меньше, чем для линейного маятника. Нелинейная сила дает меньшее ускорение грузику на всем пути, а значит, период нелинейного колебания всегда больше периода линейного колебания. Это отличие возрастает с ростом амплитуды φM. Можно доказать, что d(φM) возрастает с ростом φM и что период неограниченно возрастает, если φM → π.
Итак, совсем простые средства позволяют довольно много узнать о свойствах очень непростой системы. Здесь, однако, уместно сделать предостережение. То, что маятник непростой прибор, по-видимому, ясно. Недаром он послужил Галилею, Гюйгенсу и Ньютону одним из основных инструментов, с помощью которых они открыли законы механики. Хорошо послужит он и в наших попытках разобраться с нелинейными явлениями.
А вот простота принципа подобия и соображений размерностей несколько обманчива. Это довольно «сильный» принцип, но его применение требует очень хорошего понимания физической сущности явления, к изучению которого он применяется, а общих правил как достичь такого понимания — нет *). Применение принципа подобия в более сложных задачах — это в какой-то мере искусство. Потому-то так долго и не понимали это открытие Ньютона, а когда поняли, то начались бесконечные споры о его смысле, возможностях применения в тех или иных задачах и даже о его полезности. Эти споры не вполне затихли и сегодня. До сих пор современно звучат слова, сказанные 70 лет назад большим знатоком и пропагандистом анализа размерностей Рэлеем: «Меня часто удивляет, что даже весьма крупные ученые уделяют столь незначительное внимание великому принципу подобия. Нередко случается, что результаты кропотливых исследований преподносятся как новые «законы», которые на самом деле можно было бы получить в течение нескольких минут». К сожалению, мы не сможем уделить этому принципу достаточно внимания и рекомендуем читателю самостоятельно тренироваться в открытии с его помощью простых физических законов.
*) Подумайте, почему в живой природе нет подобия. Может ли существовать в точности подобный человеку великан, все размеры которого в 10 раз больше размеров среднего человека!
В качестве упражнения найдите методом размерностей ускорение точки, движущейся равномерно по окружности, и определите период малых колебаний тяжелой невязкой жидкости (например, ртути) в U-образной трубке. Некоторые другие примеры встретятся позже, а сейчас настало время вспомнить еще более великий принцип.
Сохранение энергии
Попался на качели,
Качайся, черт с тобой!
Ф. Сологуб
Кинетическая энергия грузика, подвешенного на нити и совершающего малые колебания, равна 1/2mv2 = 1/2ml2(φ')2, а потенциальную энергию легко найти с помощью рис. 4.5.
Так как (ОА) = 2l sin(φ/2), то (ОН) = 2l sin2(φ/2), и потенциальная энергия равна 2mgl sin2 (φ/2). Полная энергия Е = 1/2ml2(φ') + 2mgl sin2(φ/2).
Удобно намного преобразовать это соотношение, сделав все его члены безразмерными:
(φ')2/ω02 + 4 sin2 (φ/2) = 2Е/mω02 l2 . (4.3)
В правой части здесь написано отношение полной энергии маятника к кинетической энергии точки с массой m, равномерно вращающейся по окружности радиуса l с периодом . Обозначим эту энергию буквой Е0, так что правая часть равна отношению Е/Е0. Если амплитуда качаний φM мала, то sin(φ/2) φ/2, и закон сохранения энергии (4.3) имеет совсем простой вид
(φ')2/ω02 + φ2 Е/Е0, Е0 = 1/2mω02 l2. (4.4)
Полную энергию удобно выразить через амплитуду φM. В крайней точке, где φ = φM, угловая скорость равна нулю. Из уравнения (4.3) поэтому следует, что
Е/Е0 = 4 sin2(φM/2) φM2,
