Карл покачал головой.
– Подожди-ка. Очевидно, что единица не равна двум.
– Но формально равна – доказательство ты держишь в руке. Все мною использованное – в рамках абсолютно бесспорных утверждений.
– Но ты получила противоречие.
– Вот именно. Арифметика как формальная система является неполной.
6b
– Ты не можешь найти, где ошибка, это ты хочешь сказать?
– Да нет же, ты не слушаешь. Ты думаешь, я мечусь из-за такой малости? В доказательстве ошибки нет.
– Иными словами, ошибка в том, что считается общепринятым?
– Точно.
– Ты… – Он остановился, но слишком поздно. Она поглядела на него враждебно. Ну конечно, она уверена. Он задумался о том, что это подразумевает.
– Теперь понимаешь? – спросила Рене. – Я опровергла большую часть математики. Иными словами, она утратила смысл.
Она становилась все более возбужденной, почти пришла в смятение.
– Как ты можешь такое говорить? – Карл тщательно подбирал слова. – Математика все еще работает. Наука и экономика не рухнут вдруг из-за этого открытия.
– Это потому, что математика, которой они пользуются, всего лишь трюк. Мнемонический костыль, как считать костяшки пальцев, чтобы определить, в каком месяце тридцать один день.
– Но это не одно и то же.
– Почему же? Сейчас математика не имеет к реальности решительно никакого отношения. Куда там такие понятия, как мнимые числа и бесконечно малые величины! Теперь треклятое сложение целых чисел не имеет отношения к счету на пальцах. На пальцах один плюс один всегда выходит два, но на бумаге я могу дать бесконечное число ответов, и все они будут равно действительными и, следовательно, равно недействительными. Я могу написать самую элегантную теорему на свете, а значить она будет не больше, чем какое-нибудь дурацкое уравнение. – У нее вырвался горький смешок. – Позитивисты раньше говорили, мол, вся математика чистой воды тавтология. Они все напутали: она чистой воды противоречие.
Карл попытался зайти с другой стороны:
– Подожди. Ты только что упомянула мнимые числа. Почему твои выкладки хуже их? Когда-то математики считали, что они не имеют смысла, а сейчас они приняты как азы. Ситуация та же.
– Не та же! Там решение заключалось в расширении контекста, а здесь это ничего не даст. Мнимые числа привнесли в математику нечто новое, а мой формализм пересматривает уже существующее.
– Но если изменить контекст, посмотреть на это в другом свете…
Она закатила глаза.
– Нет! Это следует из аксиом с такой же непреложностью, как сложение; это никак не обойдешь. Поверь моему слову.
7
В 1936 году Герхард Гентцен привел доказательство полноты арифметики, но для этого ему пришлось прибегнуть к некоему спорному методу, известному как бесконечная индукция. Эта последняя не относилась к обычным методам доказательства и казалась мало уместной как гарантия непротиворечивости арифметики. Гентцен всего лишь доказал очевидное, допустив сомнительное.
7a
Из Беркли позвонил Каллаган, но не смог предложить избавления. Он сказал, что и дальше будет изучать ее работу, но, похоже, она наткнулась на что-то фундаментальное и тревожное. Он хотел знать, планирует ли она опубликовать свой теоретический формализм, поскольку если он содержит ошибку, которую не может найти ни один из них, в математическом сообществе обязательно отыщутся те, кто сможет.
Рене едва в силах была слушать его голос и пробормотала, что еще с ним свяжется. В последнее время, особенно после ссоры с Карлом, ей стало трудно разговаривать с людьми. Остальные на факультете начали ее избегать. Она не могла ни на чем сосредоточиться, а прошлой ночью ей приснился кошмар, в котором она открыла формализм, позволяющий переводить произвольные утверждения в математическое выражение, и тогда она доказала, что жизнь эквивалентна смерти.
Вот это ее напугало: возможность того, что она теряет рассудок. Она определенно утратила ясность мысли, то есть уже подошла достаточно близко.
«Ну что ты за идиотка, – одернула она себя. – Разве Гёдель покончил с собой, доказав свою Теорему о неполноте?»
Но это была красивая, вдохновенная, одна из самых элегантных теорем, какие Рене когда-либо видела.
Ее собственное доказательство насмехалось над ней, издевалось. Как головоломка в детской книжке, она говорила: «Вот тебе, ты проглядела ошибку, посмотрим, сумеешь ли ты найти, где облажалась, – а потом поворачивалась и говорила: – Опять попалась».
Она воображала, как Каллаган обдумывает, какие последствия будет иметь ее открытие для математики. Большая часть математики не имела практического применения: она существовала исключительно как формальная теория, которой занимаются ради ее интеллектуальной красоты. Но это так не останется: теория, которая внутренне противоречива, настолько бессмысленна, что большинство математиков с отвращением ее отбросят.
Впрочем, по-настоящему приводило Рене в ярость то, что ее предала собственная интуиция. Проклятая теорема имела смысл, на собственный извращенный лад воспринималась как праведная. Рене ее понимала, знала, почему она истинна, верила в нее.
7b
Карл улыбнулся, вспомнив ее день рождения.
«Глазам своим не верю! Откуда ты мог знать?»
Она сбежала по лестнице, прижимая к груди свитер.
Прошлым летом они провели отпуск в Шотландии, и в одном магазинчике в Эдинбурге был свитер, с которого Рене глаз не сводила, но не купила. Он заказал его по каталогу и вчера вечером подложил в ящик гардероба, чтобы она нашла его наутро.
«Ты вся как на ладони», – пошутил он. Они оба знали, что это неправда, но ему нравилось ей так говорить.
Это было два месяца назад. Всего два месяца назад.
Теперь же ситуация требовала сменить темп. Карл пошел в ее кабинет – Рене сидела в кресле у стола, смотрела в окно.
– Угадай, что я придумал?
Она подняла глаза.
– Что?
– Заказал на выходные номер в Билтморе. Сможем расслабиться и решительно ничего не делать.
– Перестань, пожалуйста, – сказала Рене. – Я знаю, чего ты добиваешься, Карл. Ты хочешь, чтобы мы занялись чем-нибудь приятным, чтобы я отвлеклась от этого формализма. Но не получится. Ты даже не знаешь, как он меня зацепил.
– Да ладно, ладно. – Он потянул ее за руки, чтобы поднять из кресла, но она отстранилась. Карл постоял немного, как вдруг она повернулась и посмотрела ему прямо в глаза.
– Знаешь, у меня даже появилось искушение начать принимать барбитураты. Я почти жалею, что не слабоумная, тогда я могла бы об этом не думать.
Это застало его врасплох.
Не зная, что теперь делать, он сказал:
– Но почему бы тебе хотя бы не попытаться на время уехать? Вреда тут никакого, а ты, может быть, отвлечешься.
– От этого нельзя отвлечься. Ты просто не понимаешь.
– Так объясни мне.
Выдохнув, Рене отвернулась, чтобы немного подумать.
– Как будто, куда ни посмотри, все кругом кричит мне о противоречиях, – сказала она. – Теперь я все время устанавливаю равенства между числами.
Карл молчал. Потом с внезапным озарением сказал:
– Как традиционные физики, когда столкнулись с квантовой механикой. Словно теорию, в которую ты всегда верила, подменили, и новая кажется бессмысленной, но почему-то все данные ее подтверждают.
– Нет, совсем не так. – Ее отказ прозвучал почти презрительно. – Доказательства тут ни при чем, это все a priori[10].
– И в чем же тут разница? Разве твои построения не являются доказательством?
– Господи, ты что, шутишь? Это разница между присвоением единице и двойке одного и того же значения и интуитивным пониманием. Я больше не могу держать в уме понятие четко разграниченных количеств, мне все кажутся одинаковыми.
– Я не о том говорил, – сказал он. – На самом деле никто не может испытывать, это как поверить в шесть невозможных вещей до завтрака.
– Откуда ты знаешь, что я могу испытывать?
– Я пытаюсь понять.
– Не трудись.
Терпение Карла иссякло.
– Как хочешь.
Он вышел и отменил заказ.
После этого они едва разговаривали, обмениваясь лишь необходимыми репликами. А через три дня Карл забыл нужную ему коробку со слайдами, вернулся с полпути домой и нашел на столе ее записку.
В следующие мгновения Карл интуитивно постиг две вещи. Первое озарение пришло, когда он со всех ног бежал по дому вне себя от страха, не взяла ли она цианид на химическом факультете: а осенило его, что раз он не может понять, что толкнуло ее на такое, то не может вчувствоваться, пережить то же, что и она.
Второе озарение снизошло, когда он кричал и бил кулаками в дверь: он испытал дежавю. Это был один-единственный раз, когда ситуация показалась знакомой, но была при этом гротескно вывернута наизнанку. Он помнил, как сам был по ту сторону запертой двери, на крыше здания, и слышал, как его друг бился о дверь и кричал ему: «Не делай этого!» И стоя по эту сторону двери в спальню, он слышал, как она плачет, парализованная ужасом точно так же, как был парализован он, когда был за дверью сам.
