Для того чтобы успешно решать практические задачи, необходимо развить базовый набор навыков, которые вы сможете применять практически во всех случаях жизни, при решении проблем - абстрактных, межличностных, денежных, возникающих на работе. К этим навыкам относятся:
ПРЯМОЙ ПОДХОД. Если перед вами встает проблема, что вы обычно делаете? Идете ей навстречу или бежите от нее? Удовлетворяетесь единственным решением или пытаетесь найти еще и альтернативные? Откладываете решение в долгий ящик или всегда решаете проблему сразу же?
ОРГАНИЗАЦИЯ. Для того чтобы эффективно решить задачу, нужно правильно организовать имеющуюся информацию, сосредоточиться на ключевых моментах, отбрасывая все второстепенное. Нужно точно сформулировать возникшую проблему. Эйнштейн понимал значение ясности, он говорил: “Все нужно делать так просто, как только возможно, но не более того”.
МАНИПУЛЯЦИИ. Некоторые задачи решаются достаточно эффективно с помощью продуманной тактики последовательных шагов. Другие можно решить экспериментальным путем - методом проб и ошибок. Третьи сдаются только после долгого размышления, причем ответ часто возникает как озарение. В любом случае вы должны будете оперировать имеющейся в наличии информацией. Возможно, вам придется переставлять слова, рассматривать иллюстрации, разбираться в математических формулах. А возможно, вам придется анализировать свои собственные реакции.
ПРОВЕРКА. Когда вы получите решение, проверьте его правильность. Вновь проанализируйте сделанные вами допущения, цепочки умозаключений. Спросите себя, нет ли у этой проблемы другого решения.
Поскольку разные типы задач требуют разных типов мышления, не существует универсальной формулы, которая позволяла бы с гарантией решать любые проблемы. В следующем разделе приводятся некоторые задачи, ставшие уже классическими. Вы увидите, что во многих случаях решение содержит элементы игры, шутки, некоторые решения просто красивы. При желании вы можете ознакомиться с правильными ответами в заключительном разделе. Не забудьте использовать четыре составляющие основной стратегии. Со временем у вас выработается собственный стиль, который будет помогать вам при решении различных задач.
Сортировка задачи
УПРАЖНЕНИЕ.
Если три дня назад был день, предшествующий понедельнику, то какой день будет послезавтра?
Первый шаг в решении задачи - выяснить, в чем же, собственно, она состоит. Если вы сформулируете, что вы на самом деле ищете, то у вас сразу же появится и конечная цель, и некая исходная точка. Итак, попробуем определить, какой день будет послезавтра. Перед понедельником было воскресенье. Если три дня назад было воскресенье, то сегодня - среда. Если сегодня - среда, значит, послезавтра будет пятница.
Иногда задача становится совершенно тривиальной, если правильно рассортировать информацию. В следующих загадках начните с определения цели, а затем сформулируйте загадку таким образом, чтобы к ней легче было подступиться.
В зоопарке имеются тридцать голов и сто ног. Сколько зверей и сколько птиц живут в зоопарке?
Три миссионера и три каннибала должны пересечь реку в лодке, в которой могут поместиться только двое. Миссионеры должны соблюдать осторожность, чтобы каннибалы не получили на каком-то берегу численное преимущество. Как переплыть реку?
Криптарифм - это задача, в которой требуется расшифровать какие-то арифметические действия. В большинстве криптарифмов каждая цифра зашифрована своей буквой. Два замечательных криптарифма, изображенные ниже, вносят приятное разнообразие в установившиеся каноны, но легко решаются с помощью логических рассуждений и допускают лишь один-единственный ответ.
, , E, E, O, , , , , , , P, P, P
, , , O, O, , , , , , , , P, P
, E, O, E, O, , , , , , P, P, P, P
, E, O, O, , , , , , P, P, P, P,
O, O, O, O, O, , , , , P, P, P, P, P
В обеих задачах умножаются какие-то два числа. В левой задаче каждая буква Е означает четную цифру, буква О - нечетную. Разумеется, из того, что все четные цифры обозначены одной и той же буквой Е, еще не следует, что все четные цифры одинаковы. Одна буква Е может означать цифру 2, другая - 4 и так далее. Нуль считается четной цифрой. Требуется расшифровать весь пример.
В правой задаче каждая буква Р означает какое-нибудь простое однозначное число (2, 3, 5 или 7).
Трое приятелей кидают монету, причем проигравший платит выигравшим столько, сколько они уже выиграли. После трех партий каждый проиграл по разу и каждый имеет по тридцать шесть долларов. С каких сумм они начали?
Миранда обыграла Розмари в теннис со счетом 6:3. В пяти играх победу одерживает та из девушек, которая не подает. Чьей была первая подача?
Из ведра, содержащего 5 литров воды, отливают 1 литр, а затем в ведро вливают 1 литр сока. Перемешав все это, из ведра отливают 1 литр смеси, затем в ведро опять вливают 1 литр сока. Опять перемешивают, отливают 1 литр смеси и вливают 1 литр сока. Сколько в ведре после этого останется воды?
Иллюстрации
Хороший способ решать задачи - рисовать к ним иллюстрации. Рисунок - даже простая схема или диаграмма - позволяет наглядно представить задачу, а значит, расширяет ваши возможности поработать над решением. Опытный логик, без сомнения, понимает важность графического комментария к задаче. С помощью карандаша и листа бумаги можно записать всю информацию, какой вы только располагаете по данной проблеме, и представить эту информацию в удобной для вас форме. Вот пример:
Однажды утром, как раз в тот момент, когда взошло солнце, один буддийский монах начал восхождение на высокую гору. Узкая тропа шириной не более одного-двух футов вилась серпантином по склону горы к сверкающему храму на ее вершине.
Монах шел по дорожке то быстрее, то медленнее; он часто останавливался, чтобы отдохнуть и поесть сушеных фруктов, которые взял с собой. К храму он подошел незадолго до захода солнца. После нескольких дней поста и размышлений монах пустился в обратный путь по той же тропе. Он вышел на рассвете и опять спускался с неравномерной скоростью, неоднократно отдыхая по дороге. Средняя скорость спуска, конечно, превышала среднюю скорость подъема.
Докажите, что на тропе есть такая точка, которую монах во время спуска и во время подъема проходил в одно и то же время суток.
Решить эту задачу очень просто, если нарисовать схему.
Путь монаха можно представить в виде графика в координатах время-высота. Когда вы наложите друг на друга обе траектории пути, вы увидите, что искомая точка действительно существует, причем только одна.
У современного скульптора есть десять одинаковых статуй. Он настаивает, чтобы у каждой из четырех стен зала находилось по три статуи. Как же их разместить?
Нарисуйте, не отрывая карандаша от бумаги, следующие рисунки:
Как сложить квадратный кусок бумаги, чтобы получились стороны правильного шестиугольника?
При выполнении этой задачи нельзя использовать карандаш и линейку. Шестиугольник может располагаться в любой части квадрата.
Поиск шаблонов
Напомним хорошо известную историю про математика Карла Фридриха Гаусса. Когда Гаусс был школьником, ему и его одноклассникам задали задачу: найти сумму всех чисел от 1 до 100. Учитель, надеясь, что класс будет надолго занят, был немало удивлен, когда Гаусс уже через пять минут дал правильный ответ. Мальчик понял, что числа можно расположить парами, которые все в сумме будут давать сто. Например, 1+99=100, 2+98=100, 3+97=100. Поскольку всего имеется 49 таких пар, плюс 50 и 100, то сумма будет равняться 5050.
Многие задачи можно решить очень легко, если найти скрытый в них шаблон.
Для того чтобы найти такой шаблон, иногда необходимо отойти на некоторое расстояние и взглянуть на проблему со стороны. Посмотрите, нельзя ли найти простые пути решения для следующих задач:
Сколько треугольников на этом рисунке?
Семеро мужчин и два мальчика должны пересечь реку. Единственная лодка очень мала и может перевезти либо одного мужчину, либо двух мальчиков. Сколько раз лодка должна пересечь реку, чтобы перевезти всех?
Крысу обучают проходить лабиринт таким образом, чтобы при каждом шаге приближаться к сыру. Сколько возможных путей есть в этом лабиринте?
Разместите числа от 1 до 19 в 19 кружках таким образом, чтобы любые три числа, находящиеся на одной прямой, в сумме давали тридцать. Одна цифра должна быть в центре круга.
Сколькими способами можно прочитать слово “радар” на приведенном ниже рисунке? Можно двигаться в любом направлении.
