- Правильно подмечено! - одобрил Мате. - Чем больше икс, тем меньше игрек, и обратно: чем меньше будет становиться икс, стремясь к нулю, тем больше будет становиться игрек, стремясь к бесконечности. А теперь соединим, наконец, найденные нами точки одной линией - и гипербола готова.
- К тому же не наполовину, а целиком, - удовлетворенно констатировал Фило. - Точь-в-точь как та, что вы нарисовали в Исфахане.
- Должен вас огорчить. То, что я нарисовал в Исфахане, полной гиперболой не было, как не был полной конической поверхностью и тот бумажный фунтик, который мы с вами рассекали воображаемыми плоскостями. Потому что полная коническая поверхность состоит не из одного, а из двух одинаковых фунтиков, соприкасающихся вершинами. И, стало быть, в каждом из этих фунтиков образуется только одна ветвь гиперболы, в то время как полная гипербола состоит из двух ветвей.
- Значит, на нашем чертеже должна быть еще одна ветвь. Но где же она? - недоумевал Фило.
- Ее нетрудно получить, придавая иксам отрицательные значения. Только, в отличие от параболы, игрек при этом тоже будет принимать не положительные, а отрицательные значения.
- Так, так, так, - озабоченно пробормотал Фило. - Икс отрицательный. Значит, откладывать его следует по оси иксов влево. Но вот вопрос: на какой оси откладывать отрицательные игреки?
- Это уж пустяки. Положительные игреки расположены вверх по оси иксов, стало быть, отрицательные...
- Вниз! - сообразил Фило и принялся откладывать отрицательные координаты точек -1, -2; -2, -1; -3, -2/3 и, наконец, -1/2, -4. - Теперь, сказал он, полюбовавшись своей работой, - объединим все это хозяйство общей линией, и вторая ветвь гиперболы налицо. Ура, ура и в третий раз ура! Остается выяснить главное: для чего все это делалось?
- Для того, чтобы понять, каким образом Менехм решал задачу об удвоении куба, - пояснил Мате. - А решал он ее так: изображал обе кривые на одном чертеже, рассматривая при этом только ту часть координатной плоскости, на которой эти кривые пересекаются. Точка пересечения их обозначим ее буквой А - удовлетворяет и первому и второму уравнениям, а следовательно, и уравнению х2 = 2. Опустим из этой точки перпендикуляр на ось иксов, обозначив основание перпендикуляра буквой В, и искомая нами длина ребра удвоенного куба найдена: это отрезок OB. Ему-то и равен х. Вот как конические сечения помогли Менехму решить одни из видов кубического уравнения. А Хайяму они помогли решить все нерассмотренные до него виды.
- Кажется, он насчитал их четырнадцать, - вспомнил Фило.
-Собственно говоря, в наше время все эти виды сводятся к одному. Да и способ решения изменился. Теперь кубические уравнения решаются по формуле итальянского математика XVI века Кардано.
Фило разочарованно нахохлился. Как же так? Выходит, Хайям трудился впустую? Мате задумчиво помешал ложечкой в стакане.
- В науке ничего не бывает впустую. Ни открытий, ни ошибок. Конечно, трудам Хайяма не суждено было оказать влияние на развитие европейской математики - эта честь досталась ал-Хорезми. Зато они оказали огромное влияние на математиков Востока. Идеи Хайяма были подхвачены и развиты другими, более поздними учеными. Кроме того, не следует забывать, что в некоторых вопросах Хайям произвел настоящую революцию. Достаточно вспомнить его календарную реформу. Или учение о числе... Надо вам знать, что Хайям был первым, кто признал иррациональные числа и, таким образом, открыто выступил против Аристотеля, который во всем остальном оставался для него непререкаемым авторитетом.
Фило недоверчиво поджал губы. Чудно! Неужели было время, когда иррациональных чисел не признавали?
- Было время, когда не признавали и отрицательных, - сказал Мате. Вот, например, два минус пять. С нашей точки зрения, это можно рассматривать как сложение положительного и отрицательного чисел: 2 + (-5) = -3. С точки зрения древних, такое вычитание невозможно. Уравнение х + 2 = 0, по их мнению, также чистейшая нелепость, ибо нет такого числа, которое, будучи прибавлено к двум, равнялось бы нулю. А по-нашему, такое число есть: это -2. Поэтому уравнение вполне разрешимо. Просто корень у него отрицательный.
Фило вдруг зажмурился. Подумать только, сколько отчаянного труда, смелости и немыслимого таланта стоит за любым, самым, казалось бы, незначительным научным понятием! Это похоже на бесконечную лестницу, где каждая ступенька штурмуется как горный пик. Чтобы признать какое-то безобидное иррациональное число, Хайям должен был обладать мужеством богоборца: ведь он посмел оспаривать самого Аристотеля! А Эратосфен, дерзнувший ввести движение в геометрию, вероятно, чувствовал себя чуть ли не преступником...
- Кстати, об Эратосфене, - круто свернул в сторону Фило. - Мне кажется, ему непременно следовало бы изменить имя.
- Это еще зачем?
- Судите сами: Эрато в Древней Греции - муза любовных песен. Разве это подходит математику? Вот если бы Эратосфен писал стихи...
- К счастью, он их не писал, - безапелляционно заявил Мате.
- Вы уверены? После истории с двумя Хайямами я бы на вашем месте не слишком полагался на свою память.
Мате покраснел. Проклятая забывчивость! Он снова направился в прихожую и вернулся с книгой в черном глянцевом переплете.
- Вот, - сказал он, - здесь собраны биографии ученых Древнего Вавилона, Египта, Греции. Сейчас открою главу об Эратосфене и выясню, чего я там не заметил.
- Позвольте мне! - Фило осторожно отнял у него книгу.
Он мгновенно, как всегда, нашел нужную страницу, пробежал ее глазами и торжествующе рассмеялся.
- Так и есть! "Он (то есть Эратосфен) был знаменит во многих отраслях: как математик, географ, историк, филолог и поэт. Образчиком его тонкого стихотворного искусства является эпиграмма об удвоении куба... В его диалоге "Платоник" рассматривается не только эта делийская задача, но и философские проблемы и некоторые вопросы теории музыки. Он написал поэму о звездном небе в форме повествования о небесных странствиях Гермеса20 и его всевозможных приключениях, а также собрал мифы, касающиеся созвездий. Он составил новую карту мира, основанную на предположении шарообразности Земли, вычислил наклон эклиптики21, расстояния до Солнца и Луны и длину земного меридиана. И он же написал большое исследование о древнегреческой комедии... Кроме того, Эратосфен считается родоначальником критической хронологии, так как научил человечество точно определять даты исторических событий..." Ну, что скажете?
- Скажу, что Эратосфену незачем менять имя, - угрюмо буркнул Мате. - И еще, что вы как филолог-любитель должны были знать о существовании такого интересного литератора.
- Должен был знать и узнал. Но вы не сказали самого главного. Мы с вами то и дело натыкаемся на примеры, свидетельствующие о губительной, тормозящей силе предубеждений, а между тем со своими собственными предубеждениями расстаемся весьма неохотно.
- Да, это вам не чай пить, - довольно язвительно отозвался Мате.
- Согласен. Но на то мы и друзья, чтобы помогать друг другу преодолевать трудности. Как это сказал тогда Хайям? "Что видно на другом, то на себе не видно. Дурные стороны видней со стороны..."
- Иначе, вы мне будете помогать избавляться от моих предубеждений, а я вам от ваших, - уточнил Мате. - Что ж, по рукам!
Они обнялись, но тут за стеной раздались душераздирающие вопли. Фило и Мате бросились в кухню: Клеопатра и Пенелопа тузили друг друга почем зря! Мате хотел разогнать их, но Фило, улыбаясь, увел его обратно в комнату. Кто знает, может быть, они избавляют друг друга от предубеждений?
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Числа и кролики
У ГОРОДСКИХ ВОРОТ
- Мате!
- Хррр...
- Мате, проснитесь!
Мате блаженно почмокал губами.
- Успеется, Фило... Еще рано.
- Какое там "рано"! Четверть тринадцатого.
- Что?! - Мате вскочил, испуганно моргая заспанными глазами. Тринадцатый час?
-Тринадцатый век. Тысяча двести двадцать пятый год.
- Вот это да!
Их окружала безлюдная сельская местность. Хмурое утро освещало синеватые затуманенные горы и нищие, крытые соломой лачуги. Мате зябко передернул плечами. Не больно здесь тепло... Куда это их занесло? Уже не в Скандинавию ли?
- Скажите еще на Северный полюс! - проворчал Фило. - В марте, да еще по утрам, холодно бывает и в Италии.
Мате удивленно свистнул: так они в Италии! Где же именно? Фило укоризненно покачал головой.
- У вас не память, а решето Эратосфена. Не вы ли с пеной у рта уговаривали меня отправиться в город Пизу, чтобы разыскать там какого-то малоизвестного математика со странным именем Фибоначчи?
Мате, как всегда в таких случаях, смущенно потер лоб. Хорошо, что ему напомнили! Но с чего это Фило взял, что Фибоначчи мало известен?
- Странный вопрос! - Фило высокомерно выпятил нижнюю губу. - О нем в энциклопедии ровным счетом четыре строчки.
- Предубеждение номер один! - отметил Мате. - Интересно, сколько строчек останется в энциклопедии после вас?
