- Полно меня разыгрывать, - подмигнул Фило, - был бы Эратосфен математиком, не ходил бы он с ситом.
- Не с ситом, а с решетом.
- Какая разница! И то и другое - прибор для процеживания и просеивания. А что может просеивать математик? Не числа же, в самом деле!
- Отчего же! - возразил Мате, с наслаждением прихлебывая ароматный напиток. - Человек, просеивающий числа, никогда без работы не останется. Ведь чисел бесконечное множество!
- Допустим. Но какой смысл их просеивать?
- Надеюсь, вы все-таки не думаете, что Эратосфен просеивал числа сквозь обычное решето. Решетом Эратосфена называется придуманный им способ отыскивать среди натуральных чисел простые, то есть такие, которые делятся только на самих себя и на единицу.
Отодвинув подстаканник, Мате полез в карман, и на сцену снова выплыл хорошо знакомый Фило блокнот.
- Вот вам натуральный ряд чисел: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30...
- А единица где?
- Единица не в счет. Итак, зачеркнем в этом ряду каждое второе число после 2 - иначе говоря, все четные числа, которые, естественно, простыми быть не могут, так как делятся на два. Что выпало?
- Четыре, шесть, восемь, десять, двенадцать...
- Итак далее, - прервал Мате. - Теперь вычеркнем каждое третье число после тройки.
- Ой! - сказал Фило озадаченно. - Шестерка уже вычеркнута.
- Не беда, вычеркнем еще раз. Итак, вычеркиваем. 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30... Теперь посмотрим, какое невычеркнутое число стоит после тройки.
- Пять.
- Превосходно. Зачеркнем каждое пятое число после пяти. Это 10, 15, 20, 25, 30. Далее возьмем следующее после пятерки невычеркнутое число семь...
- Знаю, знаю! - догадался Фило. - Зачеркнем каждое седьмое число после семерки. Это 14, 21, 28. Потом зачеркнем каждое одиннадцатое число после 11, каждое тринадцатое после 13, каждое семнадцатое после 17, девятнадцатое после 19, двадцать третье после 23...
- Уймитесь, - остановил его Мате. - Наш ряд уже кончился!
- Ну и что же! - горячился Фило. - Да будет вам известно, что числам нет конца.
Мате шутовски расшаркался.
- Благодарю за новость. Давно ли вы узнали это от меня, и вот уже я узнаю это от вас. Ну да ладно! Назовите-ка числа, оставшиеся незачеркнутыми.
- Два, три, пять, семь, одиннадцать, тринадцать, семнадцать, девятнадцать, двадцать три, двадцать девять, - перечислил Фило.
- Вот вам и первые простые числа.
- А последние какие?
- Никакие, разумеется. По той причине, что простым числам, так же как натуральным, конца нет.
- И вы беретесь это доказать?
- Зачем же доказывать то, что давным-давно доказал Эвклид? Другое дело, если вы спросите, какое наибольшее простое число известно на сегодняшний день...
- В самом деле, какое? - заинтересовался Фило.
- Два в степени девятнадцать тысяч девятьсот тридцать семь минус единица. Это сокращенно! А чтобы изобразить его полностью, нужно шесть тысяч две цифры.
Фило язвительно захихикал. Вот так простое число! Его надо на телеграфной ленте записывать.
- И все же оно не перестает от этого быть простым. Что действительно непросто, так это найти закон, по которому простые числа распределяются среди натуральных.
- Как? - удивился Фило. - Разве он до сих пор не известен?
- Был бы известен, не приходилось бы людям мучить машины в поисках очередного простого числа. Впрочем, выдающийся русский математик Пафнутий Львович Чебышев нашел способ, позволяющий приближенно установить, сколько простых чисел заключено на определенном отрезке натурального ряда. Но это уж разговор не для вас, - поспешно прервал себя Мате, заметив, что Фило приготовился к новому вопросу. - Кстати, знаете вы, что было время, когда способ Эратосфена напоминал решето не только в переносном, но и в прямом смысле?
- Не знаю, но если вы будете столь любезны...
- Буду, буду, - великодушно заверил Мате. - Эратосфен писал числа на дощечке, покрытой слоем воска. При этом составные числа он не зачеркивал, а протыкал острой палочкой. И вскоре дощечка и впрямь начинала походить на решето.
- Вероятно, решето все-таки не единственное изобретение Эратосфена? тактично полюбопытствовал Фило.
Вместо ответа Мате вышел в прихожую, порылся в рюкзаке и принес какой-то странный прибор. Осмотрев его, Фило высказал предположение, что Эратосфен питал пристрастие к домашнему хозяйству: сперва изобрел решето, потом - подставку для чайника.
Он приподнял чайник, обнажив лежащую под ним складную металлическую гармошку. Мате подтвердил, что некоторое сходство действительно имеется, но весь фокус в том, что с помощью прибора Эратосфена решалась одна из знаменитых задач древности, тогда как подставка на это решительно не способна.
- Любезный Дон-Кихот, - вкрадчиво попросил Фило, - просветите вашего верного Санчо. О каких знаменитых задачах речь?
Мате посмотрел на друга с досадой и в то же время с тайной гордостью. Право же, любопытство его становится угрожающим!
- А кто выпустил джинна из бутылки? - парировал Фило. - Не вы ли? Вот и расхлебывайте.
Мате махнул рукой.
-Так и быть! С таким чаем расхлебывать не страшно.
- Ага! - просиял Фило. - Я знал, что против моего чая вы не устоите!
ДЕЛИЙСКАЯ ЗАДАЧА
- Нам известны три неразрешимые задачи древности, - начал Мате, квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба...
- Почему же неразрешимые! - с ходу перебил Фило. - Вы же сами только что сказали, что Эратосфен решил одну из них посредством своего замысловатого прибора.
- Решить-то решил, но незаконно. Потому что по условию при решении этих задач можно было пользоваться только двумя простейшими приспособлениями: линейкой без делений и циркулем.
- Что за глупое условие! - фыркнул Фило. - Не все ли равно, каким способом решать? Главное - добиться правильного ответа.
- Ошибаетесь, уважаемый Санчо. Решить задачу, ничего не вычисляя, манипулируя только линейкой и циркулем, - большое искусство, требующее изобретательности, остроумия, я бы даже сказал - таланта. Недаром задачам на построение уделяется на уроках геометрии особое внимание! Представьте себе: вам даны три отрезка, которые должны стать медианами некоего треугольника. Попробуйте построить этот треугольник, не прибегая ни к чему, кроме слепой линейки и циркуля.
- Увы! - безнадежно вздохнул Фило. - Для этого надо знать геометрию.
- Золотые слова, хоть и не новые. Нечто подобное сказал Платон еще в четвертом веке до нашей эры. На фронтоне его афинской академии было начертано: "Не знающий геометрии да не входит сюда!" И вот почему именно к Платону обратились за помощью делийцы, когда произошла история с удвоением куба.
- Вас не поймешь, - рассердился Фило. - То вы говорили, что удвоение куба - задача, теперь это уже история...
Но Мате попросил его не придираться к словам: удвоение куба, как и всякая задача, имеет свою историю.
В IV веке до нашей эры на острове Делос в городе Дельфах вспыхнула эпидемия чумы. Что в таких случаях думают древние люди? Они думают, что прогневили богов и, естественно, стараются узнать, каким образом их умилостивить. А посему делийцы обратились за советом к знаменитому дельфийскому оракулу, и тот изрек им волю небожителей: бедствие прекратится тогда, когда в дельфийском храме будет воздвигнут новый жертвенник, объемом ровно вдвое больше прежнего, причем форма жертвенника - куб - должна оставаться неизменной.
Ознакомившись с задачей, Платон якобы сказал, что боги задали ее делийцам не потому, что им не нравится прежний жертвенник, а в укор и назидание грекам, которые мало думают о математике и пренебрегают геометрией.
- Стало быть, задача показалась ему очень трудной, - заключил Фило. Но почему? Увеличьте ребро куба в два раза - вот вам и удвоение!
Мате сказал, что решение поистине царское, и Фило задрал было нос, но выяснилось, что таким образом пытался решить задачу об удвоении куба критский царь Минос. При этом объем получился у него не в два, а в восемь раз больше прежнего, ибо объем куба равен кубу его ребра, а два в кубе как будто восемь...
Фило, разумеется, сразу сник, но тут же сообразил, что длину ребра можно найти и другим способом. Допустим, объем прежнего куба равен единице. Тогда объем нового должен быть равен двум. Значит, извлеките корень кубический из двух, и дело в шляпе.
На сей раз Мате признал, что Фило рассуждает правильно, но вот беда: извлечь корень кубический из двух можно только приближенно. Ведь это число иррациональное, иначе говоря, несоизмеримое с единицей!
- Ничего, - не сдавался Фило, - можно небось подобрать и такую длину ребра, чтобы корень извлекался. Пусть, например, ребро куба равно двум. Тогда объем будет равен восьми, а удвоенный объем - шестнадцати. Извлечем корень кубический из шестнадцати...
- И снова получим иррациональное число. Ведь что такое шестнадцать? Это восемь умноженное на два. Из восьми корень кубический извлекается, а из двух - нет. А так как при удвоении множитель два под корнем неизбежен, значит, подобрать длину ребра, которая была бы числом рациональным, нельзя:
