Олег.
Мнимая карусель
(Таня — Нулику)
Вот тебе, Нулик, наши последние новости.
По дороге к аттракциону все чаще мелькали рекламные плакаты:
ПЕРВАЯ В МИРЕ МНИМАЯ КАРУСЕЛЬ! ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ДЛЯ МНИМЫХ ЕДИНИЦ! ЕДИНСТВЕННОЕ МЕСТО, ГДЕ МНИМЫЕ ЕДИНИЦЫ МОГУТ СТАТЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ!
Мнимые Единицы, кружитесь на здоровье!
Наша симпатичная подружка щебетала без умолку и рассказала кучу интересного.
Оказывается, Мнимая Единица — это просто-напросто корень квадратный из отрицательной единицы: √-1.
— А разве из минус единицы нельзя извлечь корень? — спросил Сева. — Ведь корень квадратный из единицы всегда равен единице.
— Ой-ой-ой! — ужаснулась Мнимая Единичка. — Это касается только положительной единицы. Ведь что значит извлечь корень квадратный, скажем, из девяти?
— Это значит найти такое число, которое при возведении в квадрат равнялось бы девяти, — ответил Олег. — Это число три.
— Верно. А теперь попробуйте найти число, которое при возведении в квадрат дает минус единицу!
Мнимая Единичка тоненько засмеялась.
Сева озадаченно взъерошил волосы:
— М-да! Такого числа нет. Какое число ни возводи в квадрат, положительное или отрицательное, ответ все равно получится положительный. Уж я-то знаю!
— Вот видите. Потому-то корень квадратный из минус единицы называется мнимой единицей.
— Выходит, мнимые единицы совсем особые числа. Наверное, и дорога у вас устроена как-нибудь особенно.
— Ничуть. Наша дорога очень похожа на ту, где живут действительные числа, только расположена она под прямым углом к ней. Это такая же бесконечная прямая, в центре которой находится все та же Нулевая станция.
— Раз у вас есть Нулевая станция, значит есть положительные и отрицательные числа?
— Что вы! Разве мнимые числа могут быть положительными и отрицательными? Просто на нашей дороге, так же как и на дороге действительных чисел, есть два направления от нуля. Одно из них условились обозначать знаком плюс, другое — знаком минус.
— Но как же мнимые числа отличают от действительных?
— С помощью буквы i: 2i, 5i, -8i, -12i.
— Вот как! У вас, как и у других букв в Аль-Джебре, тоже есть коэффициенты?
— Конечно.
— А где же ваш коэффициент? — ляпнул Сева.
И когда только он научится вести себя в обществе? Хорошо еще, воспитанная Единичка сделала вид, что не заметила его бестактности.
— Мой коэффициент — единица, и он, как всегда, невидимка.
Но Сева уже закусил удила. Ужасный он спорщик!
— Вот вы говорите, что мнимая монорельсовая дорога похожа на действительную. Значит, и правила движения на ней те же. Так ведь? Тогда при чем здесь карусель? Ведь на обычной монорельсовой дороге движение идет по прямой, а карусель-то кружится?
— Вы отчасти правы, — ответила Мнимая Единичка. — Правила движений у нас более разнообразны. При сложении и вычитании вагончики на мнимой дороге движутся по прямой и по тем же правилам, что и действительные числа; 2i + 3i = 5i; 8i — 15i = -7i, или вот еще: -3i + 9i = 6i, ну и конечно: 5i — 5i = 0.
Мнимые Единички с разными знаками и одинаковыми коэффициентами взаимоуничтожаются на Нулевой станции.
Иное дело — умножение, деление, возведение в степень… Тут уж Мнимые Единицы двигаются не только по прямой, но и по кривой. Именно это вы сейчас и увидите.
Мы вошли в круглый павильон. Там было полным-полно Мнимых Единиц. Все они с нетерпением ждали своей очереди покружиться.
Павильон очень похож на цирк. Места расположены амфитеатром. В центре — арена, ее под прямым углом друг к другу пересекают две перекладины. Одна перекладина изображает монорельсовую дорогу действительных чисел. На концах ее укреплены таблички +1 и -1. Другая перекладина изображает дорогу мнимых чисел. Здесь на концах находятся таблички +i и -i. На пересечении дорог, в центре арены, — Нулевая станция. Здесь укреплена вращающаяся ось, и на нее (совсем как патефонная пластинка) надет прозрачный пластмассовый круг.
Когда мы вошли, карусель только что остановилась. С нее легко соскочила Мнимая Единица с зеленым зонтиком. Вместо нее на круг, точно против таблички +i, стала Мнимая Единица с желтым зонтиком.
Наша спутница подошла к микрофону и скомандовала:
— К возведению в степень приготовиться!
Прозвенел звонок, и под звуки плавного вальса круг тронулся. Только не по часовой стрелке, а в обратную сторону. И тут-то начались необыкновенные вещи!
Мнимая Единица с желтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел у таблички -1 и превратилась в действительное число — Отрицательную Единицу.
Возле таблички снова стала Мнимой Единицей, но уже со знаком минус. Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой +1 и — невероятно! — опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да еще положительную. А потом как ни в чем не бывало возвратилась к табличке i. Тут она снова стала Мнимой.
Оркестр заиграл песню «Каким ты был, таким остался!», и все началось сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица все превращалась и превращалась.
— Не понимаю, — сказал Сева. — Мнимая Единица превращается в Действительную, Действительная — опять в Мнимую… Как это?
— На то и возведение в степень! — отозвалась Мнимая Единичка. — Ведь Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы: i = √-1. Но если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?
— Подкоренное число, — ответил Олег.
— Так это же мы недавно видели! — вспомнил Сева. — Один карликан целый час возводил в квадрат то корень квадратный из трех, то корень квадратный из двух… И каждый раз получалось число, стоящее под радикалом.
— То же самое происходит и с Мнимой Единицей: i2 = i × i = (√-1)2 = -1.
— Ну, это понятно. А как же действительное число — минус единица превращается в мнимое?
— При этом Мнимая Единица возводится уже не в квадрат, а в куб, то есть в третью степень: i3 = i2× i.
А это ведь все равно что умножить минус единицу на i: -1 × i = -i.
— Теперь, — сказал Олег, — нетрудно понять, как Мнимая Единица с минусом -i превращается в Действительную Единицу со знаком плюс +1. Она возводится в четвертую степень: i4 = i2 × i2
А это можно представить себе и так: -1 × -1 = +1.
— Прекрасно! — воскликнула Мнимая Единичка. — Остается выяснить, как Действительная Единица снова становится Мнимой.
В самом деле, как? Тут даже Олег ни до чего не додумался. Но оказалось, что для этого Мнимую Единицу надо возвести в пятую степень.
— Не может быть! i5 равно i?! — растерялись мы. — Что же это такое?
— Да ничего особенного: i4 = 1. Чтобы получить i5, умножим единицу на i. А это ведь все равно что i, взятое один раз, то есть просто i: 1 × i = i.
— Вот так история! Мнимую Единицу нельзя возвести более чем в четвертую степень? — удивился Олег.
— Отчего же! — возразила Мнимая Единичка. — Возводите себе на здоровье и в шестую, и в седьмую, и в сто двадцать первую… Словом, в любую целую степень. Но ничего, кроме того, что уже было, не получится. На то и карусель!
Тут Севе срочно понадобилось выяснить, чему равняется i17?
— Ну, это совсем нетрудно, i в пятой равно i, — сказала Мнимая Единичка. — Значит, i в девятой тоже равно i…
— Понимаю! — перебил Сева. — Каждый раз надо прибавлять к показателю степени четыре: i13 равно i, значит, i17 тоже равно 1.
Вот, Нулик, хорошая задача для твоих учеников. Попробуйте вычислить, чему равно i24? А чтобы вам легче было, загляните в чертеж мнимой карусели.
Долго еще любовались мы превращениями Мнимых Единиц, а когда уже собрались уходить, Сева хлопнул себя по лбу:
— Чуть не забыл спросить! Вы сказали, что при возведении в степень Мнимые Единицы движутся по кривой. А ведь здесь они движутся по окружности!
— Окружность тоже кривая, но такая, где все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. При умножении и возведении в степень перемещаются по окружности только Мнимые Единицы.
— А как движутся другие мнимые числа при возведении в степень? — спросил Олег. — Два i, три i, четыре i?
— На нашей карусели вы этого не увидите, — сказала Мнимая Единичка. — Да оно и к лучшему. Это очень сложный вопрос. Нельзя же все сразу…
— Всякому овощу свое время? — подмигнул Сева.
— Пожалуй, — улыбнулась Мнимая Единичка.
Мы поблагодарили ее и распрощались. Но тут пришла очередь Олегу хлопать себя по лбу.
— Извините, пожалуйста, — сказал он, обернувшись, — а зачем вообще нужны мнимые числа?
— Это вы поймете, когда начнете решать уравнения второй и третьей степени. Там в ответе часто получаются мнимые числа.
