Р (х) dx=1, потому что вероятность обнаружить электрон
где попало равна единице. Мы находим, что К = (2ps2)-1/4.
Теперь найдем распределение по импульсу. Пусть j(p)
есть амплитуда того, что импульс электрона окажется равным р:
Подстановка (14.25) в (14.24) дает
что можно также переписать в форме
Сделаем теперь замену интеграл обратится в
Математикам, вероятно, не понравился бы такой путь расчета, однако итог, несмотря на это, верен:
Мы пришли к интересному результату — распределение амплитуд по р имеет в точности ту же математическую форму, как и распределение амплитуд по х, только ширина кривой Гаусса иная. Можно записать это так:
где полуширина h распределения по р связана с полушириной а распределения по х формулой
Наш результат утверждает: если сделать распределение по х очень узким, взяв s малым, то h станет большим и распределение по р сильно расползется. Или наоборот, если распределение по р узко, то оно соответствует широкому распределению по х. Мы можем, если угодно, рассматривать h и sкак некую меру неопределенности локализации импульса и координаты электрона в изучаемом нами состоянии. Если обозначить их соответственно Dр и Dx, то (14.33) обратится в
Интересно вот что: можно доказать, что при всяком ином
виде распределения по х или по р произведение DpDx не может
стать меньше, чем у нас получилось. Гауссово распределение
дает наименьшее возможное значение произведения средних
квадратичных. В общем случае
Это количественная формулировка принципа неопределенности Гейзенберга, который качественно нам уже давно известен. Мы обычно делали приближенное утверждение: наименьшее значение произведения DpDx — это число порядка h.
§ 4. Нормировка состояний с определенной координатой х
Теперь мы вернемся к обсуждению тех изменений в наших основных уравнениях, которые необходимо сделать для работы с континуумом базисных состояний. Когда имеется конечное число дискретных состояний, то фундаментальное условие, которому должна удовлетворять система базисных состояний, имеет вид
Если частица пребывает в одном базисном состоянии, то амплитуда пребывания в другом базисном состоянии равна нулю. С помощью подходящей нормировки можно так определить амплитуду <i|j>, чтобы она была равна единице. Оба эти условия содержатся в (14.36). Теперь мы хотим понять, как надо видоизменить это соотношение, когда пользуются базисными состояниями частицы на прямой. Если известно, что частица пребывает в одном из базисных состояний |х>, то какова амплитуда того, что она пребывает в другом базисном состоянии |x'>? Если х и х' — две разные точки прямой, то амплитуда <x|х'>, конечно, есть нуль, что согласуется с (14.36). Но когда х и х' равны, то амплитуда <x|х' > не будет равна единице из-за той же старой проблемы нормировки. Чтобы увидеть, как надо все подправить, вернемся к (14.19) и применим это уравнение к частному случаю, когда состояние |j> — просто-напросто базисное состояние |х'>. Тогда получится
Далее, амплитуда <x|y> — это как раз то, что мы назвали функцией y (х). Подобно атому а амплитуда <x'|y>, поскольку она относится к тому же состоянию y, является той же функцией переменной х', а именно y (х'). Поэтому (14,37) можно переписать так;
Уравнение должно выполняться для любого состояния y и, стало быть, для любой функции y (х). Это требование обязано полностью определить природу амплитуды <x|х'), которая, конечно, есть попросту функция, зависящая от х и х'.
Наша задача теперь состоит в том, чтобы отыскать функцию f(х, х'), которая после умножения на y (х)и интегрирования по всем х даст как раз величину y (х'). Но оказывается, что не существует математической функции, которая это умеет делать! По крайней мере не существует ничего похожего на то, что мы обычно имеем в виду под словом «функция».
Выберем какое-нибудь значение х', например 0, и определим амплитуду <0|x> как некую функцию х, скажем f(х). Тогда (14.38) обратится в
Какого же вида функция f(х)могла бы удовлетворить такому уравнению? Раз интеграл не должен зависеть от того, какие значения принимает y (х)при х, отличных от нуля, то ясно, что f(х)должна быть равна нулю для всех значений х, кроме нуля. Но если f(х)всюду равна нулю, то интеграл будет тоже равен нулю, и уравнение (14.39) не удастся удовлетворить. Возникает невозможная ситуация: нам нужно, чтобы функция была нулем всюду, кроме одной точки, и давала все же конечный интеграл. Что ж, раз мы не в состоянии сыскать функцию, которая так поступает, то простейший выход — просто сказать, что функция f(х) определяется уравнением (14.39). И именно f(х) — такая функция, которая делает (14.39) правильным. Функция, которая умеет это делать, впервые была изобретена Дираком и носит его имя. Мы обозначаем ее d (х). Все, что о ней утверждается — это что функция d(х)обладает странным свойством: если ее подставить вместо f(х)в (14.39), то интеграл выберет то значение, которое y (х)принимает при х=0; и поскольку интеграл не должен зависеть от y (х)при х, отличных от нуля, то функция d(х)должна быть нулем всюду, кроме х=0. Словом, мы пишем
<0|x>=d(x), (14.40)
где d (х)определяется соотношением
Посмотрите, что выйдет, если вместо y в (14.41) поставить частную функцию «1». Тогда получится
Иначе говоря, функция d(х)обладает тем свойством, что всюду, кроме х=0, она равна нулю, но интеграл от нее конечен и равен единице. Приходится вообразить, что функция d(х) обладает в одной точке такой фантастической бесконечностью, что полная площадь оказывается равной единице.
Как представить себе, на что похожа d-функция Дирака? Один из способов — вообразить последовательность прямоугольников (или другую, какую хотите функцию с пиком), которая становится все уже и уже и все выше и выше, сохраняя все время единичную площадь, как показано на фиг. 14.2.
Фиг. 14.2. Последовательность функций, ограничивающих единичную площадь, вид которых все сильнее и сильнее напоминает d-функцию.
Интеграл от этой функции от -Ґ до +Ґ всегда равен единице. Если вы умножите ее на произвольную функцию y(х)и проинтегрируете произведение, то получите нечто, приближенно совпадающее со значением функции при х=0, причем приближение становится все лучше и лучше, по мере того как прямоугольники становятся уже и уже. Если хотите, можете представлять d-функцию посредством такого рода предельного процесса. Но единственно здесь важно то, что d-функция определена так, что (14.41) справедливо для каждой волновой функции y (х).
Это однозначно определяет d-функцию. Ее свойства тогда получаются такими, как было сказано.
Заменим аргумент d-функции с х на х- х', и соотношения обратятся в d(х-x')=0,
Если в (14.38) вместо амплитуды <x|х'> подставить d(x- х'), то это уравнение будет выполнено. В итоге получаем, что для наших базисных состояний с координатой х условие, соответствующее формуле (14.36), имеет вид
<x'|x>=d(x-х'). (14.44)
Теперь мы завершили все необходимые видоизменения наших основных уравнений, нужные для работы с континуумом базисных состояний, соответствующих точкам на прямой. Обобщение на три измерения вполне очевидно: во-первых, координата х заменяется вектором r; во-вторых, интегралы по х заменяются на интегралы по х, у и z (иными словами, они становятся интегралами по объему); в-третьих, одномерную d-функцию надо заменить просто произведением трех d-функций от x, от y и от z: d (х-х') d (у- у') d (z-z'). Собирая все вместе, получаем следующую совокупность уравнений для амплитуд частицы в трехмерном мире:
