Суммирование, конечно, проводится по всей совокупности базисных состояний | i>.
В гл. 11, когда мы рассчитывали, что бывает с электроном, помещенным в линейную цепочку атомов, вы выбрали совокупность базисных состояний, в которых электрон был расположен близ того или иного из атомов цепочки. Базисное состояние |n> представляло электрон, локализованный (расположенный) возле атома номер п. (Конечно, неважно, обозначать ли наши базисные состояния |n> или |i>.) Чуть позже мы нашли, что базисные состояния удобнее метить координатой атома, а не номером атома в цепочке. Состояние | хn> — это просто другой способ записи состояния |n>. Тогда, следуя общему правилу, любое состояние |y> можно описать заданием того, что электрон в состоянии |y> находится также в одном из состояний |хn>. Для удобства мы решили обозначать эти амплитуды символом
Cn=<xn|y>. (14.6)
Поскольку базисные состояния связаны с местоположением электрона на линии, то амплитуду Сnможно рассматривать как функцию координаты х и писать ее в виде С(хn). Амплитуды С(хn)будут в общем случае меняться во времени и поэтому суть также функции от t, но мы не будем отмечать эту зависимость явно.
Кроме того, в гл. 11 мы предположили, что амплитуды С(хn) обязаны меняться во времени так, как положено по гамильтонову уравнению (11.3). В нашем новом обозначении это уравнение имеет вид
Два последних слагаемых в правой части представляют такой процесс, когда электрон, находившийся возле атома (n+1) или возле атома (n-1), окажется возле атома (n).
Мы нашли, что (14.7) имеет решения, отвечающие состояниям определенной энергии. Мы записывали их в виде
У состояний с низкой энергией длины волн велики (k мало) и энергия связана с k формулой
или, если выбрать нуль энергии так, чтобы было (Е0-2А)=0, то энергия дается формулой (14.1).
Посмотрим, что бы произошло, если бы мы позволили расстоянию b между атомами решетки стремиться к нулю, сохраняя волновое число постоянным. Если бы больше ничего не случилось, то последнее слагаемое в (14.9) обратилось бы просто в нуль, и никакой физики бы не осталось. Но предположим, что А и b вместе изменяются так, что при стремлении b к нулю произведение Ab2поддерживается постоянным: с помощью (14.2) мы запишем Аb2в виде постоянной h2/2mэфф. При этом (14.9) не изменится, но что произойдет с дифференциальным уравнением (14.7)?
Перепишем сперва (14.7) так:
При нашем выборе Е0первое слагаемое выпадет. Далее, представим себе непрерывную функцию С(х), которая плавно проходит через значения С(хn)в точках хn. Когда расстояние b стремится к нулю, точки хnсближаются все теснее и теснее и [если С(х)меняется достаточно плавно] величина в скобках попросту пропорциональна второй производной С(х). Можно написать (в чем легко убедиться, разложив в ряд Тэйлора каждый член) равенство
Тогда в пределе, когда b стремится к нулю, а b2A поддерживается равным h2/2mэфф, уравнение (14.7) переходит в
Перед нами уравнение, утверждающее, что скорость изменения С(х) — амплитуды того, что электрон будет обнаружен в х— зависит от амплитуды того, что электрон будет обнаружен в близлежащих точках так, что эта скорость пропорциональна второй производной амплитуды по координате.
Правильное квантовомеханическое уравнение движения электрона в пустом пространстве впервые было открыто Шредингером. При движении по прямой оно имеет вид (14.12); надо только mэфф заменить на m — массу электрона в пустом пространстве. При движении по прямой в пустом пространстве уравнение Шредингера имеет вид
Мы не хотим, чтобы вы считали, будто мы сейчас вывели уравнение Шредингера; мы только показываем вам один из способов, каким его можно осмыслить. Когда Шредингер впервые написал его, он привел какой-то вывод, опиравшийся на эвристические доводы и блестящие интуитивные догадки. Некоторые из его доводов были даже неверны, но это не имело значения; важно то, что окончательное уравнение дает правильное описание природы. И цель нашего обсуждения состоит просто в том, чтобы показать вам, что правильное фундаментальное квантовомеханическое уравнение (14.13) имеет ту же самую форму, какая получается в предельном случае электрона, движущегося вдоль цепочки атомов. Это значит, что можно считать, что дифференциальное уравнение (14.13) описывает диффузию амплитуды вероятности от точки к точке вдоль прямой. Иначе говоря, если электрон имеет некоторую амплитуду того, что он будет в одной точке, то чуть позже у него появится амплитуда того, что он будет в близлежащих точках. Уравнение действительно напоминает уравнения диффузии, которыми мы пользовались в начале курса. Но есть и одно важное отличие: мнимый коэффициент перед производной по времени приводит к поведению, в корне отличному от обычной диффузии (например, от диффузии газа, распространяющегося по длинной трубе). Обычная диффузия приводит к действительным экспоненциальным решениям, а решения (14.13) суть комплексные волны.
§ 2. Волновая функция
Чтобы получить некоторое представление о том, как теперь все будет выглядеть, вернемся к самому началу и изучим проблему описания движения электрона по прямой, не рассматривая состояний, связанных с атомами решетки. Мы хотим возвратиться к самому началу и посмотреть, какими представлениями нужно пользоваться, чтобы описать движение свободной частицы в пространстве. Раз нас интересует поведение частицы вдоль континуума точек, то придется иметь дело с бесконечным множеством возможных состояний и, как вы увидите, идеи, которые были развиты для конечного числа состояний, потребуют некоторых технических видоизменений.
Начнем с того, что вектором состояния |х>обозначим состояние, в котором частица расположена в точности в точке с координатой х. Для каждого значения х вдоль прямой — для 1,73, для 9,67, для 10,00 и т. д.— имеется соответствующее состояние. Выберем эти состояния |х>в качестве базисных. Если это сделать для всех точек х прямой, то получится полная совокупность состояний для движения в одном измерении. Теперь положим, что имеется состояние другого рода, скажем |y>, в котором электрон как-то распределен вдоль прямой. Один из способов описать это состояние — задать все амплитуды того, что электрон будет также найден в каждом из базисных состояний |x>. Надо задать бесконечную совокупность амплитуд, по одной для каждого х. Запишем их в виде <x|y>. Каждая из этих амплитуд — комплексное число, и поскольку для каждого значения х существует одно такое число, амплитуда <x|y> является в действительности просто функцией х. Запишем ее также в виде С (х):
Мы уже рассматривали такие амплитуды, которые непрерывным образом меняются с координатами, говоря в гл. 5 (вып. 8) об изменениях амплитуд во времени. Мы, например, показали там, что следует ожидать, что частица с определенным импульсом будет обладать особым типом изменения своей амплитуды во времени. Если частица имеет определенный импульс р и соответствующую ему определенную энергию Е, то амплитуда того, что она будет обнаружена в любом заданном месте x, такова:
<x|y> = С (x) ~e+ipx/h. (14.15)
Это уравнение выражает важный общий принцип квантовой механики, который связывает базисные состояния, соответствующие различным положениям в пространстве, с другой системой базисных состояний — со всеми состояниями определенного импульса. В некоторых задачах состояния определенного импульса удобнее, чем состояния с определенным х. И любая другая система базисных состояний также годится для описания квантовомеханической ситуации. К связи между ними мы еще вернемся. А сейчас мы по-прежнему будем придерживаться описания на языке состояний |х>.
