Первым основным понятием К. м. является квантовое состояние. Выбор математического аппарата К. м. диктуется физическим принципом суперпозиции квантовых состояний, вытекающим из волновых свойств частиц. Согласно этому принципу, суперпозиция любых возможных состояний системы, взятых с произвольными (комплексными) коэффициентами, является также возможным состоянием системы. Объекты, для которых определены понятия сложения и умножения на комплексное число, называется векторами. Т. о., принцип суперпозиции требует, чтобы состояние системы описывалось некоторым вектором — вектором состояния (с которым тесно связано понятие амплитуды вероятности, или волновой функции), являющимся элементом линейного «пространства состояний». Это позволяет использовать математический аппарат, развитый для линейных (векторных) пространств. Вектор состояния обозначается по П. Дираку .
Кроме сложения и умножения на комплексное число, вектор может подвергаться ещё двум операциям. Во-первых, его можно проектировать на др. вектор, т. е. составить скалярное произведение с любым др. вектором состояния ; оно обозначается как и является комплексным числом, причём
<y'|y> = <y|y'>*. (26)
Скалярное произведение вектора с самим собой, , — положительное число; оно определяет длину (норму) вектора. Длину вектора состояния удобно выбрать равной единице; его общий фазовый множитель произволен. Различные состояния отличаются друг от друга направлением вектора состояния в пространстве состояний.
Во-вторых, можно рассмотреть операцию перехода от вектора к др. вектору (или произвести преобразование ). Символически эту операцию можно записать как результат действия на вектор некоторого линейного оператора :
(27)
При этом вектор может отличаться от «длиной» и «направлением». Линейные операторы, в силу принципа суперпозиции состояний, имеют в К. м. особое значение; в результате воздействия линейного оператора на суперпозицию произвольных векторов и получается суперпозиция преобразованных векторов:
. (28)
Важную роль для оператора играют такие векторы , для которых совпадает по направлению с , т. е.
(29)
Векторы называют собственными векторами оператора , а числа l — его собственными значениями. Собственные векторы принято обозначать просто , т. е. . Собственные значения l образуют либо дискретный ряд чисел (тогда говорят, что оператор имеет дискретный спектр), либо непрерывный набор (непрерывный спектр), либо частично дискретный, частично непрерывный.
Очень важный для К. м. класс операторов составляют линейные эрмитовы операторы. Собственные значения l эрмитового оператора вещественны. Собственные векторы эрмитового оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг к другу, т. е.
= 0. (30)
Из них можно построить ортогональный базис («декартовы оси координат») в пространстве состояний. Удобно нормировать эти базисные векторы на 1, =1. Произвольный вектор можно разложить по этому базису:
; . (31)
При этом:
, (32)
что эквивалентно теореме Пифагора; если нормирован на 1, то
. (33)
Принципиальное значение для построения математического аппарата К. м. имеет тот факт, что для каждой физической величины существуют некоторые выделенные состояния системы, в которых эта величина принимает вполне определённое (единственное) значение. По существу это свойство является определением измеримой (физической) величины, а состояния, в которых физическая величина имеет определённое значение, называются собственными состояниями этой величины.
Согласно принципу суперпозиции, любое состояние системы может быть представлено в виде суперпозиции собственных состояний какой-либо физической величины. Возможность такого представления математически аналогична возможности разложения произвольного вектора по собственным векторам линейного эрмитового оператора. В соответствии с этим в К. м. каждой физической величине, или наблюдаемой, L (координате, импульсу, моменту количества движения, энергии и т.д.) ставится в соответствие линейный эрмитов оператор . Собственное значение l оператора интерпретируются как возможные значения физической величины L, проявляющиеся при измерениях. Если вектор состояния — собственный вектор оператора , то физическая величина L имеет определённое значение. В противном случае L принимает различные значения l с вероятностью |cl|2, где cl — коэффициент разложения по :
. (34)
Коэффициент cl= разложения в базисе называется также волновой функцией в l-представлении. В частности, волновая функция y(х) представляет собой коэффициент разложения по собственным векторам оператора координаты .
Среднее значение наблюдаемой L в данном состоянии определяется коэффициентами сl, согласно общему соотношению между вероятностью и средним значением
.
Значение можно найти непосредственно через оператор и вектор состояния (без определения коэффициентов сl) по формуле:
. (35)
Вид линейных эрмитовых операторов, соответствующих таким физическим величинам, как импульс, момент количества движения, энергия, постулируется на основе общих принципов определения этих величин и соответствия принципа, требующего, чтобы в пределе 0 рассматриваемые физические величины принимали «классические» значения. Вместе с тем в К. м. вводятся некоторые линейные эрмитовы операторы (например, отвечающие преобразованию векторов состояния при отражении осей координат, перестановке одинаковых частиц и т.д.), которым соответствуют измеримые физические величины, не имеющие классических аналогов (например, чётность).
С операторами можно производить алгебраические действия сложения и умножения. Но, в отличие от обыкновенных чисел (которые в К. м. называют с-числами), операторы являются такими «числами» (q-числами), для которых операция умножения некоммутативна. Если и — два оператора, то в общем случае их действие на произвольный вектор в различном порядке даёт разные векторы: , т. е. . Величина обозначается как и называется коммутатором. Только если два оператора переставимы (коммутируют), т. е. , у них могут быть общие собственные векторы и, следовательно, наблюдаемые L и М могут одновременно иметь определённые (точные) значения l и m. В остальных случаях эти величины не имеют одновременно определённых значений, и тогда они связаны соотношением неопределённостей. Можно показать, что, если , то DLDM ³ |c|/2, где DL и DМ — среднеквадратичные отклонения от средних для соответствующих величин.
Возможна такая математическая формулировка, в которой формальный переход от классической механики к К. м. осуществляется заменой с-чисел соответствующими q-числами. Сохраняются и уравнения движения, но теперь это уравнения для операторов. Из этой формальной аналогии между К. м. и классической механикой можно найти основные коммутационные (перестановочные) соотношения. Так, для координаты и импульса . Отсюда следует соотношение неопределённостей Гейзенберга . Из перестановочных соотношений можно получить, в частности, явный вид оператора импульса, в координатном (х–) представлении. Тогда волновая функция есть y(х), а оператор импульса — дифференциальный оператор
