Это операторное уравнение на самом деле означает, что имеется соотношение между числами. Если заполнить недостающие части, то оно означает то же самое, что и
Проделав здесь комплексное сопряжение, получим
Теперь вспомним, что комплексно сопряженная амплитуда — это амплитуда обратного процесса, так что (9.73) можно переписать в виде
Поскольку это уравнение справедливо для всякого i, то его можно «сократить» до
Это уравнение называется сопряженным с (9.71).
Теперь легко доказать, что Еn— число вещественное. Умножим (9.71) на <n|. Получится
(с учетом, что <n|n>=1). Умножим теперь (9.75) справа на
|n>:
Сравнивая (9.76) с (9.77), видим, что
Еn=Еn*, (9.78)
а это означает, что En вещественно. Звездочку при Еnв (9.75) можно убрать.
Теперь наконец-то мы в силах доказать, что состояния с различными энергиями ортогональны. Пусть |n> и |m> — пара базисных состояний с определенными энергиями. Написав (9.75) для состояния |m> и умножив его на |n>, получим
Но если (9.71) умножить на <m|, то будет
Раз левые части этих уравнений равны, то равны и правые:
Если Еm=Еn , то это равенство ни о чем не говорит. Но если энергии двух состояний |m> и |n> различны (Еm№Еn), то уравнение (9.79) говорит, что <m|n> должно быть нулем, что мы и хотели доказать. Два состояния обязательно ортогональны, если только Еnи Еmотличаются друг от друга.
* Такую интерференцию действительно наблюдали. Коэффициент a оказался равным — 0,96b. Отсюда можно было вычислить и разность масс К1- и K2-мезонов. Она оказалась равной около —0,35·10-5 эв. Это наименьшая разность масс двух частиц, известных физикам.— Прим. ред.
* Мы здесь упрощаем. Система 2p может иметь множество состояний, отвечающих различным импульсам p-мезонов, и в правой части >того равенства следовало бы поставить сумму по всем базисным состояниям p-мезонов. Но полный вывод все равно приводит к тем же результатам.
* Типичное время для сильного взаимодействия ближе к 10-23 сек.
* Если, конечно, он не создает еще двух К+ или других частиц с общей странностью +2. Можно считать, что здесь речь идет о реакциях, в которых не хватает энергии для возникновения этих добавочных странных частиц.
** Свободная L-частица медленно распадается путем слабого взаимодействия (так что странность не обязана при этом сохраняться). Продуктами распада могут быть либо р и p-, либо n и p0. Время жизни 2,2·10-10сек.
* Читайте: «.K-нуль с чертой».
** Среди новых частиц есть барион W- со странностью -3.—Прим. ред.
* Это похоже на то, что мы обнаружили (в гл. 4) для частиц со спином 1/2. когда поворачивали систему координат вокруг оси z; тогда мы получили фазовые множители exp (±ij/2). В действительности это в точности то же самое, что мы писали в гл. 3, § 7, для состояний |+> и |-> частицы со спином 1, и это не случайно. Фотон— это частица со спином 1, у которой, однако, нет «нуль»-состояния.
** Мы сознаем, что материал этого параграфа длиннее и труднее, чем это положено на нашем уровне знаний. Лучше пропустите его и переходите прямо к § 6. Но если у вас есть самолюбие и время, попозже вернитесь к нему опять. Это великолепнейший пример (взятый к тому же из последних работ по физике высоких энергий) того, что можно сотворить с помощью нашей формулировки квантовой механики двухуровневых систем. (Для русского издания параграф переделан проф. Сэндсом. — Прим. ред.)
* Параграф 5 при первом чтении книги можно пропустить. Он сложнее, чем положено в таких курах.
Глава 10
СВЕРХТОНКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ В ВОДОРОДЕ
§ 1. Базисные состояния для системы двух частиц со спином 1/2
§2. Гамильтониан основного состояния водорода
§ 3. Уровни энергии
§ 4. Зеемановское расщепление
§ 5. Состояния в магнитном поле
§ 6.Проекционная матрица для спина 1
§ 1. Базисные состояния для системы двух частиц со спином 1/2
В этой главе мы займемся «сверхтонким расщеплением» водорода — интересным примером того, что мы уже в состоянии делать с помощью квантовой механики. Здесь у нас уже будут не два состояния, а больше. Поучительность этого примера в том, что он познакомит нас с методами квантовой механики, применяемыми в более сложных задачах. Сам по себе этот пример достаточно сложен, и как только вы поймете, как с ним справляться, вам сразу же станет ясно, как обобщить его на другие возможные задачи.
Как известно, атом водорода состоит из электрона и протона; электрон сидит неподалеку от протона и может существовать в одном из многих дискретных энергетических состояний, в каждом из которых его картина движения другая. Так, первое возбужденное состояние лежит на 3/4 ридберга, или на 10 эв, выше основного состояния. Но даже так называемое основное состояние водорода на самом деле не является отдельным состоянием с определенной энергией, ибо у электрона и у протона есть спины. Эти спины и ответственны за «сверхтонкую структуру» в уровнях энергии, которая расщепляет все уровни энергии на несколько почти одинаковых уровней.
Спин электрона может быть направлен либо вверх, либо вниз; у протона тоже его собственный спин может смотреть вверх или вниз. Поэтому на всякое динамическое состояние атома приходятся четыре возможных спиновых состояния. Иначе говоря, когда физик говорит об «основном состоянии» водорода, он на самом деле имеет в виду «четыре основных состояния», а не просто самое низкое из них. У четырех спиновых состояний энергия не совсем одинакова; имеются небольшие сдвиги по отношению к тому, что наблюдалось бы в отсутствие спинов. Эти сдвиги, однако, во много-много раз меньше, чем те 10 эв, которые лежат между основным состоянием и следующим более высоким состоянием.
В итоге энергия каждого динамического состояния расщеплена на ряд очень тесных уровней — это так называемое сверхтонкое расщепление.
Разности энергий четырех спиновых состояний — это и есть то, что мы хотим рассчитать в этой главе. Сверхтонкое расщепление вызывается взаимодействием магнитных моментов электрона и протона; оно приводит для каждого спинового состояния к слегка отличающимся магнитным энергиям. Эти сдвиги энергии составляют только около десятимиллионной части электрон-вольта, что действительно много меньше 10 эв!
Именно из-за столь большого промежутка основное состояние водорода мы вправе считать «четырехуровневой системой», не заботясь о том, что на самом-то деле при более высоких энергиях состояний куда больше. Мы намерены ограничиться здесь изучением сверхтонкой структуры только основного состояния атома водорода.
Для наших целей нам неважны различные детали расположения электрона и протона, потому что все они, так сказать, уже выработаны атомом, все они получились сами собой, когда атом попал в основное состояние. Достаточно знать только, что электрон и протон находятся невдалеке друг от друга, в каком-то определенном пространственном соотношении. Кроме того, у них могут быть всевозможные взаимные ориентации спинов. И мы хотим рассмотреть только спиновые эффекты.
Первый вопрос, на который нужно ответить: каковы базисные состояния для этой системы? Но вопрос этот поставлен неправильно. Такой вещи, как единственный базис, не существует, а всякая система базисных состояний, которую вы выберете, не будет единственной. Всегда можно составить новые системы из линейных комбинаций старой. Для базисных состояний всегда есть множество выборов и все они одинаково законны.
