V — E + F = (5P + 6H)/3 — (5P + 6H)/2 + (P + H).
Умножая обе части на 6, приходим к нужному выводу:
12 = 10P + 12H — 15P — 18H + 6P + 6H = P.
У теоремы о двенадцати пятиугольниках есть двойственная формулировка, получаемая заменой граней на вершины и наоборот. Оставляем ее доказательство читателю.
Если любая грань многогранника является треугольником и степень каждой вершины равна пяти или шести, то в многограннике имеется ровно двенадцать вершин степени пять.
На рис. 8.4 показан пример такого многогранника, где выделено 7 из 12 вершин степени пять. Многие геодезические купола, например Биосфера в Монреале, сконструированы именно так. Разумеется, геодезические купола в архитектуре обычно не являются полными сферами. Тематический парк Эпкот во Всемирном центре отдыха Уолта Диснея имеет такую конструкцию, но каждая треугольная грань разбита еще на три треугольника.
Эти простые примеры позволяют составить первое впечатление о возможностях формулы Эйлера. В последующих главах мы увидим, какая мощь скрывается за элементарным, на первый взгляд, соотношением.
Рис. 8.4. Геодезический купол с двенадцатью вершинами степени пять
Приложения к главе
68. Bell (1945), 211.
69. Poincare (1913), 44.
Глава 9
Был ли Декарт первым?
И я надеюсь, что потомки будут благодарны мне не только за то, что я здесь разъяснил, но и за то, что мною было добровольно опущено, с целью предоставить им удовольствие самим найти это.
— Рене Декарт70
В 1860 году, спустя больше ста лет после того, как Эйлер представил свое доказательство формулы для многогранников, появилось свидетельство того, что Рене Декарт, знаменитый философ, ученый и математик, знал об этом замечательном соотношении в 1630 году, более чем за сто лет до Эйлера. Это свидетельство обнаружилось в считавшейся давно утраченной рукописи. История поистине удивительная, как и спор о том, чье имя должна носить формула для многогранников.
Декарт родился в дворянской, хотя и небогатой, семье в 1596 году во французском городке Лаэ, недалеко от Тура. его мать умерла через несколько дней после родов, а отца, хотя и оказывавшего поддержку своему «маленькому философу», большую часть детства Рене не было дома.
Юный Рене рос болезненным мальчиком, а в зрелости стал настоящим ипохондриком. Он посещал иезуитский колледж Ла Флэш, и один из его учителей разрешал ему оставаться по утрам в постели столько, сколько он захочет, хотя другие дети в это время были на занятиях. Декарт использовал это время для размышлений. Эту привычку он сохранил на всю жизнь, и многие его величайшие идеи вынашивались в спокойные и тихие утренние часы, проведенные в кровати.
Сквозной темой, пронизывавшей всю жизнь Декарта, было стремление к уединению. Как он сам писал, «я желаю лишь умиротворения и покоя»71. Эта потребность не отвлекаться на пустяки нашла отражение в его многочисленных переменах места жительства и безбрачии — они никогда не был женат. Его службе в армии сопутствовали длительные периоды мира, что позволило ему отдаваться глубоким размышлениям. Декарт вовсе не был затворником, но всегда стремился остаться один и предаться научным и философским занятиям. Это желание иллюстрируется его девизом: bene vixit qui bene latuit (хорошо жил тот, кто хорошо спрятался).
Рис. 9.1. Рене Декарт
В 1637 году Декарт опубликовал короткую книгу с длинным названием «Discours de la methode pour bien conduire sa raison et chercher la verite dans les sciences (Рассуждение о методе, чтобы хорошо направлять свой разум и отыскивать истину в науках)72, оказавшую огромное влияние. Публикация «Рассуждения о методе» положила начало современной философии. В этой книге, которая теперь считается литературной классикой, Декарт описал философию, основанную на сомнении и рационализме. Именно в ней встречается самая известная в философии фраза «cogito ergo sum» (мыслю, следовательно, существую). Его философия стала одним из краеугольных камней научной революции.
В «Рассуждении о методе» было три приложения, самым важным и влиятельным из них оказалась «La Geometrie» (Геометрия) на ста страницах, появление которой часто называют рождением аналитической геометрии — предмета, настолько укорененного в современную математику, что последнюю трудно представить без нее. (Следует также отдать должное Ферма, современнику Декарта, за вклад в эту область.) Аналитическая геометрия — это сплав геометрии и алгебры. В ней вводится система координат, а положение точки описывается ее координатами (x, y). Эта система координат называется декартовой в честь Декарта. Ценность данного подхода заключается в том, что геометрические фигуры — прямые, окружности, кривые линии — можно представить алгебраическими уравнениями, что позволяет использовать алгебраические средства для решения геометрических задач. Хотя в «Геометрии» аналитическая геометрия построена еще не полностью (например, Декарт нигде явно не создавал осей координат), многие ключевые идеи уже присутствуют.
В 1649 году, после многократных приглашений на протяжении трех лет, пятидесятитрехлетний Декарт согласился приехать к шведской королеве Кристине и давать ей уроки философии. Королева настояла, чтобы пятичасовые занятия, по три раза в неделю, начинались в пять утра и проходили в необычайно холодной комнате (та зима была самой холодной за шестьдесят лет).
Эти занятия ранним утром вынудили Декарта отказаться от давней привычки проводить утренние часы в постели. Тяжелые условия, вероятно, подкосили и без того хрупкое здоровье Декарта. 1 февраля 1650 года, спустя всего несколько месяцев после приезда в Швецию, он подхватил воспаление легких. Он отказался от услуг врача Кристины, предпочтя собственный рецепт — смесь вина и табака, благодаря которой он отхаркивал быстро скапливающуюся мокроту. Лечение оказалось неэффективным. Декарт умер 11 февраля 1650 года.
Его друг, посол Франции Гектор-Пьер Шаню, взял на себя труд доставить личные вещи Декарта в Париж, где они должны были храниться у зятя Шаню, Клода Клерселье. Но корабль потерпел крушение в Сене, и весь груз попал в реку. Все вещи Декарта, включая чемодан с многочисленными заметками и рукописями, уплыли. По счастью, через три дня чемодан был найден. Бумаги аккуратно разобрали и развесили сушиться, как белье в прачечной.
Став обладателем бумаг Декарта, Клерселье начал публиковать их. Он также предоставил документы в распоряжение ученых для исследования. Одним из математиков, заинтересовавшихся побывавшими в воде заметками Декарта, был Лейбниц. Во время одной из своих поездок в Париж Лейбниц снял копии некоторых заметок Декарта о многогранниках, датируемых приблизительно 1630 годом. Эти важные заметки теперь называются «De solidorum elementis» (Об элементах геометрических тел).
Клерселье умер в 1684 году, через восемь лет после посещения Лейбница, не успев опубликовать часть рукописей, в
