(г = 1) равна 4π. Следовательно, площадь треугольника равна одной восьмой от 4π, или π/2.
Легко проверить, что теорема Хэрриота-Жирара дает тот же результат. Сумма трех внутренних углов этого треугольника равна 3π/2. Поэтому, согласно теореме, площадь треугольника равна (3π/2) — π = π/2, что совпадает с предыдущим вычислением.
Это соотношение было независимо открыто Хэрриотом и Жираром. Британский ученый Томас Хэрриот — личность загадочная. Он был талантливым и активным исследователем, но никогда не публиковал своих работ. После его смерти осталось десять тысяч страниц неопубликованных рукописей, диаграмм, измерений и вычислений. Один биограф писал, что отвращение Хэрриота к публикации «во многом можно объяснить неблагоприятными внешними условиями, проволочками и нежеланием публиковать трактат, если, как он думал, его еще можно улучшить»78. Многие его статьи были напечатаны посмертно. Больше всего он известен работами по алгебре, но занимался также оптикой, астрономией, химией и лингвистикой. Хэрриот, подобно Лейбницу и Эйлеру, снискал репутацию автора новой и элегантной математической нотации. К сожалению, из-за трудностей типографского набора нестандартных символов не все его идеи представлены в печатном виде и потому не получили широкого признания. Но два символа дошли до наших дней: < (меньше) и > (больше). Очень мало известно о личной жизни Хэрриота. В 1585 г. сэр Уолтер Рэйли отправил его в годичное путешествие в Новый Свет в качестве землемера и картографа. Так что, по-видимому, он был первым профессиональным математиком, ступившим на землю Северной Америки.
Французский математик Альбер Жирар обосновался в Голландии, скорее всего, потому что, будучи протестантом, не мог жить в отчем доме во французской Лотарингии. Сегодня он известен своими работами по алгебре и тригонометрии. Он первым стал использовать сокращения sin, tan и sec для тригонометрических функций синус, тангенс и секанс, а также символ ∛ для обозначения кубического корня. Также Жирар первым из математиков придал геометрический смысл отрицательным числам. Он писал: «Отрицательное решение в геометрии объясняется движением в обратном направлении, а знак минус означает возврат назад, тогда как + — продвижение вперед»79.
Исторически с формулой площади сферических треугольников связывается имя Жирара, а не Хэрриота. Это и понятно, потому что первым в печати появилось доказательство Жирара, опубликованное в 1629 году80. Жирар известен своим лаконичным стилем, в его доказательствах часто отсутствуют детали. Даже самому Жирару это доказательство казалось неудовлетворительным — он назвал результат «вероятным заключением»81. Двадцатью шестью годами раньше эту же теорему доказал Хэрриот, о чем Жирар не знал. Разумеется, как мы уже сказали, Хэрриот не опубликовал ни этот, ни какой-либо другой свой результат. Но и в секрете он его не держал. Его доказательство было известно современникам; британский математик Генри Бриггс (1561–1630) сообщил Кеплеру о результате Хэрриота и включил его в список великих открытий своего времени. Но нет никаких свидетельств того, что Жирару было известно о доказательстве Хэрриота.
Поскольку Хэрриот первым доказал теорему, а Жирар первым опубликовал ее, теперь этот результат называется теоремой Хэрриота-Жирара. Стоит отметить, что доказательство Херриота гораздо проще и элегантнее доказательства Жирара. Приведенное ниже рассуждение принадлежит Лежандру, но оно очень похоже на доказательство Хэрриота.
В доказательстве Жирара остроумно используется объект, называемый двуугольником (по аналогии с треугольником). Это область, ограниченная двумя большими окружностями (рис. 10.5). Две большие окружности всегда пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы. Если две окружности пересекаются под углом a с одной стороны, то и с другой стороны они тоже пересекаются под углом a. Если угол a измерен в радианах, то площадь двуугольника (на единичной сфере) равна 2a. Этот факт легко выводится из простой пропорции: площадь двуугольника относится к полной площади сферы, как угол a к 2π (что видно по рис. 10.6). Поэтому имеем
Рис. 10.5. Двуугольник на сфере
Теперь рассмотрим на единичной сфере геодезический треугольник ABC с внутренними углами a, b и c. Этот треугольник содержится в некоторой полусфере. Продолжим стороны ABC до пересечения с границей полусферы. Обозначим (см. рис. 10.7) D, E, F, G, H, I точки, в которых эти окружности пересекаются с краем полусферы.
Рис. 10.6. Сферический двуугольник (слева) и вид сверху (справа)
Рис. 10.7. Большие окружности на полусфере
В силу симметрии сферы сумма площадей областей ADE и AGH равна площади двуугольника с углом a. Иным словами, если вырезать треугольник AGH и склеить край GH с краем ED, то получится двуугольник с углом a. Из этого наблюдения мы заключаем, что
площадь(ADE) + площадь(AGH) = площадь двуугольника = 2a.
Аналогично общая площадь треугольников BFG и BDI равна площади двуугольника с углом b, а треугольников CHI и CEF — площади двуугольника с углом c. Следовательно, имеем
площадь(BFG) + площадь(BDI) = 2b
и
площадь(CHI) + площадь(CEF) = 2с.
Складывая оба равенства, получаем
[площадь(ADE) + площадь(AGH)] +
[площадь(BFG) + площадь(BDI)] +
[площадь(CHI) + площадь(CEF)] = 2a + 2b + 2с.
Внимательно взглянув на левую часть этого выражения, мы увидим, что площадь каждой области полусферы входит в сумму по одному разу, за исключением площади треугольника ABC, которая учтена трижды. Таким образом, имеем
площадь(полусферы) + 2 площадь(АВС) = 2a + 2b + 2с.
Поскольку площадь полусферы равна 2π, получаем
2π + 2 площадь(АВС) = 2a + 2b + 2с.
Изменив порядок членов и поделив на 2, приходим к окончательному выводу:
площадь(АВС) = a + b + с — π,
что и требовалось доказать.
В доказательстве формулы Эйлера, найденном Лежандром, нам понадобится следующее обобщение теоремы Хэрриота-Жирара на геодезические многоугольники с числом сторон больше 3.
Теорема Хэрриота-Жирара для многоугольников
Площадь геодезического π-угольника на единичной сфере с внутренними углами a1, a2…, аπ равна a1 + a2 +… + an — nπ + 2π, или, эквивалентно, площадь = (сумма углов) — nπ + 2π.
Сумма внутренних углов любого плоского π-угольника равна (n — 2)π. (Мы более пристально рассмотрим эту теорему и ее обобщения в главе 20.) Поэтому, как и в случае треугольников, площадь геодезического многоугольника просто равна величине, на которую сумма его углов превышает сумму углов плоского многоугольника с таким же числом сторон. То есть
площадь = (сумма углов) — (сумма углов плоского n-угольника).
Чтобы понять, почему эта теорема верна, разобьем многоугольник на геодезические треугольники, проведя диагонали. При таком разбиении получается n — 2 треугольника (рис. 10.8). Сумма площадей этих треугольников равна площади многоугольника, а сумма их углов равна сумме углов многоугольника. Применив теорему Хэрриота-Жирара ко всем n —
