b'(t)=b(t)+γ sin(l(t)+φ)+ λ
Последняя формула справедлива для всех звезд рассматриваемой совокупности, и, следовательно, можно поставить статистическую проблему оценки параметров γ и φ для данной совокупности звезд. Оценки параметров γ и φ можно найти, например, методом наименьших квадратов, когда γ и φ являются решением следующей задачи:
Σi(b-bi(t)-γ sin(li(t)+φ)2→min,
где суммирование производится по всем звездам i из рассматриваемой совокупности, bi — широта i-й звезды в каталоге «Альмагеста», bi(t), li(t) — истинные широта и долгота звезды i в году t.
Решением этой задачи являются параметры φstat(t) и γstat(t). А задающие ошибку в определении положения эклиптики при условии, что звездный каталог был составлен в году t, а минимальное значение суммы представляет собой квадрат среднеквадратичной широтной ошибки в рассматриваемой совокупности звезд после компенсации систематической ошибки. Назовем это минимальное значение «остаточной ошибкой», т. е. ошибкой, которая остается в каталоге после компенсации систематической составляющей.
Затем мы рассмотрели следующие семь совокупностей звезд, семь областей звездного неба «Альмагеста». См. рис. 1.14.
Рис. 1.14. Семь областей, выделяющихся на звездном небе «Альмагеста». Эти области характеризуются различной точностью измерений
ОБЛАСТЬ М — это Млечный Путь.
ОБЛАСТЬ А — большая область справа от Млечного Пути, содержащая точку осеннего равноденствия и завершающаяся зодиаком.
ОБЛАСТЬ В — это меньшая область слева от Млечного Пути, содержащая точку весеннего равноденствия и завершающаяся зодиаком.
ОБЛАСТЬ С — это южная часть неба справа от Млечного Пути, расположенная за зодиаком.
ОБЛАСТЬ D — это южная часть неба слева от Млечного Пути, расположенная за зодиаком.
ОБЛАСТЬ Zod А — это часть зодиака, попавшая в область А.
ОБЛАСТЬ Zod В — это другая часть зодиака, попавшая в область В.
ОБЛАСТЬ А — самая большая из них. Через Zod мы обозначили все звезды зодиака в «Альмагесте». Из рис. 1.6 видно, — какие именно созвездия «Альмагеста» попали в эти выделенные нами семь областей звездного неба.
Для каждой из этих совокупностей звезд были найдены графики функций φstat(t) и γstat(t), вместе с соответствующими доверительными интервалами. На рис. 1.15 показан вид этих кривых для области Zod А. Также мы нашли среднеквадратичные ошибки до и после компенсации систематических ошибок. Анализ данных показывает, что наиболее хорошо измеренными в «Альмагесте» совокупностями звезд являются области А и Zod А. На каком основании сделан этот вывод?
Рис. 1.15. График параметров, описывающих ошибку в определении положения эклиптики для области Zod А
Во-первых, сравниваются исходная и остаточная ошибки. Если это снижение значительно, — как в области Zod А, где ошибка снижается с уровня 22' до 13', — то есть основания говорить о малой величине случайной ошибки.
Во-вторых, принимается во внимание размер доверительной области для обнаруженных параметров φstat(t) и γstat(t). Так, для областей Zod А и А ширина доверительного интервала для γstat(t) составляет всего около 10′, а например, для области D — существенно больше. Кроме того, как говорилось, снижение ошибки от первоначального уровня до «остаточного» для области D незначительно. Поэтому говорить об уверенном определении систематической ошибки для этой части неба нельзя. Можно лишь утверждать, что ошибка лежит в пределах доверительной области. Но такое неточное знание систематической ошибки для данной области, — например для D, — приводит к тому, что мы не имеем права основывать наши последующие заключения на рассмотрении координат звезд из групп, обладающих подобными свойствами. Это замечание очень важное и будет нами использовано в дальнейшем. Напомним, что цена деления шкалы каталога «Альмагеста» составляет 10 минут, это — «заявленная точность» каталога. Другими словами, — точность, на которую претендовал составитель каталога «Альмагеста». Другой вопрос: смог ли он реально достичь этой точности? Этот вопрос был решен нами описанным выше методом. Кроме того, таким же приемом были изучены и отдельные созвездия. Это позволило установить, что систематические ошибки в каталоге, сделанные наблюдателем для больших участков неба, в основном совпадают с систематическими ошибками, обнаруживающимися при анализе отдельных созвездий каталога «Альмагеста». Оказалось, в частности, что созвездия Рыбы, Овен, Телец, Водолей относятся к группе плохо измеренных созвездий, а Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог — к группе хорошо измеренных созвездий. Здесь мы говорим о созвездиях зодиака. Эти результаты хорошо согласуются с выводами, сделанными на основе рассмотрения больших совокупностей звезд, а именно, по несколько сотен звезд в каждой совокупности.
Далее, хотя величины φstat(t) и γstat(t) мы определяли с помощью методов математической статистики, это, вообще говоря, не дает оснований считать их систематическими ошибками. Дело в том, что они отвечают лишь «средним» отклонениям координат по всем звездам из рассматриваемой совокупности. Но это не противоречит тому случаю, когда отдельные созвездия имеют разные систематические ошибки, так что в итоге получается найденная нами выше ошибка. Расчеты показали, что отдельные зодиакальные созвездия из области Zod А имеют ОДНУ И ТУ ЖЕ погрешность γ=20′. В то же время они имеют отличающиеся друг от друга погрешности φ.
Такую же погрешность γ=20′ имеет и часть А звездного атласа «Альмагеста». Забегая вперед, скажем, что такую же погрешность γ имеет в «Альмагесте» и совокупность именных звезд из части неба А. Мы называем именными звездами те, которые снабжены в «Альмагесте» собственными именами. Все это говорит о том, что ошибка γ ЕДИНА ДЛЯ ВСЕХ СОЗВЕЗДИЙ ИЗ ЧАСТИ НЕБА А.
Совсем иное положение с ошибкой φ. Она варьируется от созвездия к созвездию. Можно дать вполне естественное объяснение этому обнаруженному нами обстоятельству, если предположить, что координаты звезд измерялись с помощью армиллярной сферы. Это — стандартный средневековый и «античный» инструмент. См. рис. 1.16. Схематическое изображение см. на рис. 1.17. При этом угол между плоскостями эклиптики и экватора, включающий ошибку γ, фиксируется в инструменте, а угол φ меняется от одной серии измерений к другой. См. рис. 1.18. Впрочем, это объяснение не используется нами далее.
Рис. 1.16. Армиллярная сфера, принадлежавшая Тихо Браге (1546–1601) в 1598 году. Взято из [546], с. 13
Рис. 1.17. Общая схема армиллярной сферы
Рис. 1.18. Параметризация систематической ошибки с помощью двух углов
Из проведенных рассуждений следует практический вывод. А именно, мы вправе использовать, для части неба А, найденное значение в качестве систематической ошибки, содержащейся в звездном каталоге «Альмагеста». Сразу же возникает вопрос: насколько допустимо использование одного параметра, а именно γstat, и игнорирование другого параметра, а именно φstat? Для ответа на него удобно перейти от параметризации ошибки с помощью величин γ и φ к параметризации ошибки через величины взаимно перпендикулярных наклонов γ и b. См. рис. 1.13. Здесь γ, как и прежде, означает ошибку в положении эклиптики, а b — ошибку в положении экватора. Нетрудно показать, что b приблизительно равняется φ/γ. Здесь углы измеряются в радианах. Следовательно, если γ=20′, а φ=10 градусов, то Ь=3′.
