Рассмотрим частный пример. Возьмем опять оператор Р^. Сперва, правда, немножко изменим определение операции Р. Пусть Р^ будет не просто зеркальным отражением, потому что оно требует определения плоскости, в которой поставлено зеркало. Существует особый вид отражения, который указания плоскости не требует. Переопределим операцию Р^ таким образом: сперва вы отражаете в зеркале, находящемся в плоскости z, так что z переходит в -z, x остается х, а у остается у; затем вы поворачиваете систему на угол 180° вокруг оси z, так что х переходит в -х, а у в -у. Все вместе называется инверсией, обращением координат. Каждая точка проецируется через начало координат в диаметрально противоположное положение. Все координаты всего на свете меняют знак. Эту операцию мы, как и прежде, будем обозначать символом Р. Она изображена на фиг. 15.4 и немного удобнее, чем простая операция отражения, потому что не нужно указывать, в какой координатной плоскости происходит отражение, достаточно лишь указать точку, являющуюся центром симметрии.
Фиг. 15.4. Операция инверсии Р^. То, что находится в точке A (х, у, z), переходит в точку
А' (-х, -у, -z).
Теперь предположим, что у sac есть состояние |y0>, которое при операции инверсии переходит в еid|y0>, т. е.
Сделаем теперь новую инверсию. После двух инверсий мы вернемся к тому, с чего начали: ничего не изменится. Должно получиться
Но
Отсюда следует, что (еid)2=1. Значит, если оператор инверсии является операцией симметрии для какого-то состояния, то У d могут быть только две возможности:
еid=±1,
а это означает, что или
В классической физике, если состояние симметрично относительно инверсии, то эта операция дает опять то же состояние. А в квантовой механике имеются две возможности: получается
либо то же состояние, либо минус то же состояние. Когда получается то же состояние, Р^|y0>=|y0>, мы говорим, что у состояния |y0> четность положительна. Если знак меняется, так что Р^|y0>=-|y0>, мы говорим, что четность состояния отрицательна. (Оператор инверсии Р^ известен также как оператор четности.) Состояние |I> иона Н+2 обладает положительной четностью; состояние же |II> — отрицательной [см. (15.12)]. Бывают, конечно, состояния, не симметричные относительно операции Р^;это состояния без определенной четности. Например, в системе Н+2 состояние |I> имеет положительную четность, состояние | II> — отрицательную, а состояние | 1у определенной четности не имеет.
Когда мы говорим о том, что операция (например, инверсия) была совершена «над физической системой», то это можно представлять себе двояким образом. Можно считать, что все, что было в точке r, физически сдвинулось в обратную точку -r; или можно считать, что мы смотрим на ту же систему из новой системы отсчета х', y', z', связанной со старой формулами х'=-х, у' =-у и z'=-z. Точно так же, когда мы говорим о поворотах, то можно либо считать, что мы поворачиваем целиком всю физическую систему, либо что поворачиваем систему координат, в которой мы измеряем нашу систему, оставляя последнюю закрепленной в пространстве. Эти две точки зрения по существу равноценны. Они равноценны и при повороте, только поворот системы на угол q подобен повороту системы отсчета на отрицательный угол —q. В нашем курсе мы обычно смотрели, что получается, когда берется проекция на новую систему осей. То, что при этом получается, совпадает с тем, что получится, если мы оставим оси прежними и повернем тело на столько же назад. Когда вы это делаете, не забудьте поменять знаки углов.
Многие законы физики (но не все) не меняются при отражении или инверсии координат. Они симметричны по отношению к инверсии. Законы электродинамики, например, не изменяются, если мы меняем x на -х, у на -у и z на -z во всех уравнениях. То же относится и к законам тяжести, и к сильным взаимодействиям ядерной физики. Только у слабых взаимодействий, ответственных за b-распад, нет такой симметрии. [Мы обсуждали это несколько подробнее в гл. 52 (вып. 4).] Но мы сейчас пренебрежем b-распадом. Тогда в любой физической системе, на которую, как можно думать, b-распад не оказывает заметного влияния (в качестве примера возьмем испускание света атомом), гамильтониан H^ и оператор Р^ будут коммутировать, В этих обстоятельствах верно следующее утверждение. Если четность состояния вначале положительна и вы поинтересуетесь физической ситуацией через некоторое время, то увидите, что четность останется положительной. Пусть, например, нам известно, что атом перед тем, как испустить фотон, находился в состоянии с положительной четностью. Вы рассматриваете всю эту систему (включая фотон) после испускания; четность опять будет положительна (и точно так же было бы, если бы вы начали с отрицательной четности). Этот принцип именуется сохранением четности. Вы теперь понимаете, почему слова «сохранение четности» и «симметрия относительно отражений» в квантовой механике тесно переплетены. Хотя до последних лет считалось, что природа всегда сохраняет четность, теперь известно, что это не так. Выяснилось, что это неверно, потому что реакция b-pаспада не обладает симметрией относительно инверсии, обнаруженной в других законах физики.
Теперь мы можем доказать интересную теорему (справедливую до тех пор, пока слабыми взаимодействиями можно пренебрегать): любое состояние определенной энергии, не являющееся вырожденным, обязано обладать определенной четностью. Его четность должна быть либо положительна, либо отрицательна. (Припомните, что нам иногда встречались системы, в которых несколько состояний имели одну и ту же энергию,— такие состояния мы называем вырожденными. Так вот наша теорема к ним не относится.)
Мы знаем, что если |y0> — состояние определенной энергии, то
где Е — просто число, энергия состояния. Если у нас имеется произвольный оператор Q^, который является оператором симметрии для системы, то мы можем доказать, что
если только |y0> — единственное состояние с данной энергией. Рассмотрим новое состояние |y0> которое вы получаете после действия Q^. Если вся физика симметрична, то |y'0> должно иметь ту же энергию, что и |y0>. Но мы ведь выбрали случай, когда состояние с такой энергией только одно, а именно |y0>; значит, |y'0> должно быть тем же состоянием, отличаясь разве что фазой. Таково физическое доказательство.
Но то же последует и из нашей математики. Наше определение симметрии —это (15.10) или (15.11), справедливое для любого состояния |y>:
Но сейчас речь идет о состоянии |y0>, которое является состоянием с определенной энергией, так что Н^|y0>=Е|y0>. А раз Е — просто число, то оно попросту проходит сквозь Q^, и мы имеем
так что
Значит, |y'0>=Q^ ly0> — тоже состояние H^ с определенной энергией и при этом с тем же самым Е. Но по нашей гипотезе имеется только одно такое состояние; значит, |y0> должно быть равно ёid|y0>.
Все, что мы только что доказали, относится к любому оператору Q^, лишь бы он был оператором симметрии для физической системы. Поэтому когда в рассмотрение входят только электрические силы и сильные взаимодействия (и нет никакого b-распада), так что симметрия относительно инверсии является вполне допустимым приближением, в этих обстоятельствах Р^|y>=еid|y>. Но мы видели также, что еidобязано равняться либо +1, либо -1. Итак, любое состояние с определенной энергией (если оно не вырождено) навсегда снабжено либо положительной, либо отрицательной четностью.
