Многие предпочитают язык бесконечно малых сдвигов по времени или бесконечно малых перемещений в пространстве или поворотов на бесконечно малые углы. Поскольку всякое конечное смещение или угол можно постепенно накопить последовательными бесконечно малыми смещениями или поворотами, то часто легче проанализировать сначала этот бесконечно малый случай. Оператор бесконечно малого сдвига Dt во времени есть (по определению гл. 6, вып. 8)
Тогда Н аналогично классической величине, которую мы именуем энергией, потому что если Н^|y> оказывается равным
постоянной, умноженной на |y>, а именно если Н^|y>=E|y>,
то эта постоянная есть энергия системы.
То же самое проделывается и с другими операциями. Если мы делаем легкое смещение по х, скажем на Dx, то состояние
|y>, вообще говоря, перейдет в некоторое новое состояние
|y'>. Мы можем написать
потому что, когда Dx стремится к нулю, |y'> обязано обратиться опять в |y>, или, что то же самое, D^x(0)=1, а для малых Dx отклонение D^x(Dx) от единицы должно быть пропорционально Dx. Оператор рх, определенный таким путем, называется оператором импульса (естественно, для x-компоненты).
По тем же причинам для малых поворотов обычно пишут
и называют J^z оператором z-компоненты момента количества движения. Для тех особых состояний, для которых R^z(j)|y0>=еimj |y0>, можно для каждого малого угла, скажем Dj, разложить правую часть до членов первого порядка по Dj и получить
Сравнивая это с определением J^zпо формуле (15.28), приходим к
Иначе говоря, если вы действуете оператором J^zна состояние с определенным моментом количества движения вокруг оси z, то получаете mh, умноженное на это состояние, где mh—количество z-компоненты момента количества движения. Все совершенно аналогично тому, как действие Н^ на состояние с определенной энергией дает Е|y>.
Теперь хотелось бы перейти к некоторым приложениям идеи о сохранении момента количества движения, чтобы показать вам ее в действии. Дело в том, что в действительности все это очень просто. О том, что момент количества движения сохраняется, вы знали и раньше. Единственное, что вам нужно запомнить из этой главы, это что если у состояния |y0> есть такое свойство, что при повороте на угол j вокруг оси z оно превращается в еimj|y0>, то z-компонента момента количества движения равна mh. Этих знаний достаточно, чтобы получить уйму интересных вещей.
§ 4. Поляризованный свет
Прежде всего необходимо проверить одну идею. В гл. 9, § 4 (вып. 8), мы показали, что когда состояние правополяризованного по кругу света наблюдается из системы, повернутой на угол j вокруг оси z, то оно оказывается умноженным на еij. Не означает ли это, что фотоны правополяризованного по кругу света несут момент количества движения вдоль оси z, равный единице?
Да, так оно и есть. Это означает еще, что когда у нас имеется пучок света, содержащий множество фотонов, поголовно одинаково поляризованных по кругу (как бывает в классических пучках), то он будет нести с собой какой-то момент количества движения. Если полная энергия, уносимая пучком за какое-то время, есть W, то в нем имеется N=W/hw фотонов. Каждый несет по моменту h, так что полный момент количества движения равен
Jz=Nh=W/w. (15.30)
Можно ли и в классике доказать, что свет, правополяризованный по кругу, несет с собой энергию и момент количества движения в пропорции W к w? Ведь если все правильно, это было бы классическое утверждение — случай, когда можно перейти от квантов к классике. Надо проверить, подтверждается ли это классической физикой. Тогда станет ясно, имеем ли мы право назвать т моментом количества движения. Припомним, чем в классическом смысле является правополяризованный свет. Он описывается электрическим полем с колеблющейся x-компонентой и колеблющейся y-компонентой, сдвинутыми по фазе на 90°, так что суммарный вектор x электрического поля бежит по кругу (фиг. 15.5, а).
Фиг. I5.5. Электрическое поле x в поляризованной по кругу световой волне (а) и вращение электрона, приводимого в движение поляризованным по кругу светом (б). .
Теперь положим, что мы осветили таким светом стенку, способную поглотить его (или по крайней мере часть его), и рассмотрим один из атомов стенки, опираясь на классические представления. Мы часто представляли движение электрона в атоме в виде гармонического осциллятора, который приводится в действие внешним электрическим полем. Предположим, что атом изотропен, так что с равным успехом колеблется как в направлении х, так и в направлении у. Далее, у света, поляризованного по кругу, смещения по х и по у одинаковы, хотя и отстают друг от друга на 90°. В итоге электрон будет двигаться по кругу (фиг. 15.5, б). Он сместится из положения равновесия в начале координат на величину г и начнет ходить по кругу, как-то отставая по фазе от вектора x. Связь между x и r может быть такая, как показано на фиг. 15.5, б. Электрическое поле с течением времени поворачивается, но с такой же частотой поворачивается и смещение, так что относительная ориентация остается той же. Посмотрим теперь, какая работа производится над электроном. Скорость, с какой электрону подается энергия, равна его скорости v, умноженной на компоненту xt, параллельную этой
скорости:
Но вы не можете не заметить, что у электрона в это время непрерывно увеличивается и момент количества движения, потому что он все время испытывает действие момента, вращающего его вокруг начала координат. Вращательный момент равен xtr, и он обязан равняться скорости изменения момента количества движения dJz/dt:
Вспоминая, что v=wr, имеем
Следовательно, если проинтегрировать поглощаемый полный момент количества движения, то он окажется пропорциональным полной энергии, с коэффициентом пропорциональности 1/w, что согласуется с (15.30). Свет действительно несет с собой момент количества движения — одну единицу (Xh), когда он правополяризован по кругу вдоль оси z, и минус одну единицу, когда левополяризован.
Теперь зададим следующий вопрос: если свет линейно поляризован в направлении х, то чему равен момент количества движения? Свет, поляризованный в направлении х, может быть представлен суперпозицией право- и левополяризованного света. Поэтому имеется некоторая амплитуда того, что момент количества движения равен +h, и некоторая амплитуда того, что момент равен -h, так что определенного момента количества движения у него нет, а есть амплитуда появиться с +h, и такая же появиться с -h. Интерференция этих двух амплитуд создает линейную поляризацию, обладающую равной вероятностью оказаться с плюс или с минус одной единичкой момента количества движения. Макроскопические измерения, проведенные над пучком линейно поляризованного света, покажут, что он несет нулевой момент количества движения, потому что среди большого числа фотонов, несущих противоположные количества момента, окажется поровну правых и левых, и средний момент количества движения будет равен нулю. И в классической теории вы не обнаружите никакого момента количества движения, разве что где-то окажутся следы какой-то круговой поляризации.
Мы говорили, что частица со спином 1 может иметь три значения Jz:+1, 0, -1 (те три состояния, которые нам встретились в опыте Штерна — Герлаха).
Но у света свой нрав: у него только два состояния. Состояния с нулем у него нет. Эта странная потеря связана с тем, что свет не может стоять на месте. У покоящейся частицы со спином j имеются 2j+1 возможных состояния со значениями jz, идущими с шагом 1 от -j до +j. Но оказывается, что если что-то имеет спин j, а масса этого чего-то равна нулю, то у него могут быть только состояния с компонентами +j и -j вдоль направления движения. Например, у света не три состояния, а два, хотя фотон — это объект со спином 1. Как же это согласуется с нашими прежними доказательствами, опирающимися на то, что происходит при поворотах в пространстве, доказательствами того, что для частиц со спином 1 необходима тройка состояний? Покоящуюся частицу можно поворачивать вокруг любой оси, не меняя состояния ее момента. Частицы же с нулевой массой покоя (например, фотоны или нейтрино) не могут находиться в покое; только повороты вокруг оси, указывающей направление движения, не изменят состояния момента. А поворотов вокруг одной оси не хватает на то, чтобы доказать, что нужны обязательно три состояния, если дано, что одно из них при поворотах на угол j меняется, как еij.
