где М = 1, 2 и n = 1, 2.
Общую закономерность теперь нетрудно уловить и она наглядно ясна — нарисованные штрихами синусоиды соответствуют стоячим волнам. Легко также догадаться, что в цепочке из N частиц моду с номером М надо искать в виде
Уравнение движения для n-гo атома составляется точно так же, как уравнения (5.1), т. е.
Это уравнение годится и для крайних атомов — первого и N-гo. Нужно только вспомнить, что крайние пружинки закреплены, т. е. у0 = yN+1 = 0. Эти условия для предполагаемых решений (5.7) уже выполнены. Теперь должно быть ясно, как довести решение до конца. Надо подставить выражение (5.7) в уравнение (5.8) и заменить на -ω2Myn(М). После несложных преобразований тригонометрических функций получится соотношение для ω2M, при выполнении которого все уравнения (5.8) удовлетворяются; это выражение мы приведем без вывода
Эта зависимость частоты от номера моды изображена на рис. 5.6. Для мод с малыми номерами (низкочастотных и длинноволновых) частота пропорциональна номеру моды. Для высокочастотных мод (коротковолновых) частота выходит на предельное значение 2ω0.
Формула (5.9) определяет спектр частот собственных колебаний (мод) цепочки. Не удивительно, что в цепочке из N частиц имеется ровно N собственных частот. Нетрудно понять и происхождение предельной частоты. Если один из грузиков колеблется слишком быстро, то соседние не успевают реагировать на его движение, и возбуждение не сможет распространяться вдоль цепочки. Этот вывод легко проверить, проделав простые опыты.
Читателю стоит потратить некоторое время, чтобы самостоятельно разобраться в этих результатах. Затраченные усилия полностью окупаются. После уравнений Галилея — Ньютона и принципа сохранения энергии разложение произвольного движения на моды, или нормальные колебания, представляет собой, возможно, самой фундаментальный результат физики. Его обобщения и приложения, от простых механических задач до современных проблем физики элементарных частиц, просто невозможно перечислить.
Отступление в историю.
Семья Бернулли и волны
Эти простые наблюдения отвлекли нас от первоначальной задачи Ньютона — вычисления скорости распространения волны. Скоро мы к ней вернемся, а сейчас сделаем небольшое отступление в историю. Хотя Ньютон привел лишь решение задачи о вычислении скорости бегущей волны, он, конечно, размышлял и о стоячих волнах. В самом конце того раздела «Начал», в котором определяется скорость распространения звука, он очень коротко говорит об основной частоте тона органных труб и высказывает догадку, что длина стоячей звуковой волны в трубе, открытой на одном конце, равна учетверенной длине трубы. Представления о других возможных модах, равно как и ясного понятия о стоячих волнах вообще, у Ньютона нет.
Полная теория колебания в одномерной цепочке была построена Иоганном Бернулли (1667—1748) и его сыном Даниилом Бернулли (1700—1782). Вместе с братом Иоганна Якобом Бернулли (1654—1705) они — наиболее выдающиеся представители знаменитой династии швейцарских ученых. Семья Бернулли эмигрировала из Антверпена в ХVI в. спасаясь от жестокостей испанских завоевателей, и в конце концов осела в Базеле. Якоб и Иоганн Бернулли были учениками Лейбница и стали крупнейшими математиками своего времени. Под руководством Иоганна Бернулли изучали математику его сын Даниил и Леонард Эйлер. Семья Бернулли была тесно связана с Россией. В 1725 г. Даниил уехал в Петербург, где оставался до 1733 г. В следующем году за ним последовал и Эйлер, который провел в России почти полжизни. Бернулли и Эйлер опубликовали многие свои сочинения в трудах Петербургской академии наук и были ее членами.
Существование нормальных мод было установлено отцом и сыном Бернулли, а возможность разложения произвольного движения цепочки по нормальным модам (принцип суперпозиции, или принцип сложения колебаний) была открыта Даниилом Бернулли. Он был самым выдающимся физиком в семье Бернулли; наиболее знамениты его достижения в гидродинамике, кинетической теории газов и в теории колебаний. Надо отметить, что принцип суперпозиции, с помощью которого мы так просто изучили общее движение цепочки по легко определяемым нормальным модам, был признан и вошел в науку не сразу. В числе его противников были даже Эйлер и Лагранж. В своих исследованиях они очень близко подошли к открытию этого принципа, но имели достаточно серьезные основания сомневаться в его справедливости, о которых будет сказано чуть позже.
Впоследствии одномерную цепочку в связи с распространением звуковых волн в газах, жидкостях и твердых телах изучали Лагранж и Коши. Особенно полную теорию цепочек, состоящих из атомов разных сортов, разработал в конце прошлого века Кельвин. Он применил свою теорию к распространению световых волн в твердых телах и нашел простое объяснение явления дисперсии света *), открытого в середине XVII в. чешским ученым Яном Маркусом Марци и вновь открытого Ньютоном, не знавшим о работах Марци (вспомним о знаменитом опыте Ньютона по разложению солнечного света в спектр с помощью призм). Замечательная и глубокая работа Кельвина не была полностью понята и оценена современниками, а его модель была возрождена уже в двадцатом веке, когда начали изучать кристаллические решетки, состоящие из реальных атомов.
*) Слово «дисперсия» означает в переводе с латинского рассеяние, разброс. В оптике дисперсией обычно называют явление зависимости показателя преломления от частоты или длины волны. В общей теории волн дисперсию связывают с зависимостью скорости волны от ее длины, а соотношение между частотой и длиной волны называют дисперсионной формулой. Дисперсия очень важна в теории солитонов, и мы изучим ее подробно.
Волны Д'Аламбера и споры вокруг них
Воображение принимает в творчестве геометра не ме-
нее участия, чем в минуты вдохновения у поэта.
Д'Аламбер
После исследований Бернулли по одномерным цепочкам Эйлер начал изучать колебания и струны, не пытаясь представить ее с помощью простой модели, а считая ее сплошной средой. При этом движение струны определено, если известно ее отклонение от положения равновесия у (t, х) как функция координаты х и времени. В уравнение, описывающее движение струны, входят, как мы увидим, не только производные по времени , но и производные по координате у". Такие уравнения называются уравнениями с частными производными. Их систематическое изучение, которое продолжается и в наши дни, было начато Эйлером. Движения струны описываются очень простым уравнением, с которым мы познакомимся чуть позже. Опираясь на исследования Эйлера, знаменитый французский математик и энциклопедист *) Жан ле Рон Д'Аламбер (1717—1783) нашел в 1748 г. его решение
у (t, х) = f (х - vt) + g (х + vt) , (5. 10)
в котором f и g могут быть произвольными функциями.
*) Вместе с Дени Дидро он возглавил работу над монументальной «Энциклопедией наук, искусств и ремесел», 33 тома которой вышли в свет с 1751 по 1777 гг. Это была первая в мире энциклопедия в современном смысле слова.
Это замечательное решение, которое называется решением Д'Аламбера (или волной Д'Аламбера), описывает все возможные движения струны при соответствующем выборе функций f и g **). Например, если g = 0, то решение Д'Аламбера дает волну, бегущую по оси х направо со скоростью v. Скорость v не произвольна, а определенным образом зависит от упругости и силы натяжения струны (характер этой зависимости сейчас нам не важен).
**) Так как решение Д'Аламбера описывает любые волны, которые могут распространяться по струне, то, зная это решение, можно вообще забыть об уравнении. Точно так же для описания всех возможных движений точечной частицы, на которую не действуют внешние силы, достаточно знать галилеев закон движения x = x0 + vt, забыв об уравнении Ньютона.
Если положить f (х) = sin (2πх/λ), то получим синусоидальную бегущую волну
Записывая эту волну в более привычном виде
