поскольку все части движутся как целое и их ускорения одинаковы. Таким образом, мы получили уравнение, совпадающее с уравнением движения обычного маятника φ" = -ω02 sin φ, но теперь ω02 = mg/Ml. Этот вывод не зависит от сделанных приближений, приближенным получилось лишь выражение для ω02 (в точной формуле вместо Ml надо подставить I/l, где I — момент инерции колеса; для обруча I = Ml2).
На этом простом приборе можно изучить все движения, которые были рассмотрены выше. Нужно только помнить, что трение приводит к затуханию колебаний, закон сохранения энергии становится приближенным и фазовый портрет маятника при наличии трения существенно изменяется (попробуйте показать, что для линейного маятника с трением окружности на фазовой плоскости переходят в спирали, накручивающиеся на точку φ = 0, φ' = 0).
На велосипедном колесе легко установить изохронность малых и неизохронность больших колебаний. Нетрудно также найти зависимость периода колебаний от амплитуды и установить качественный характер любых движений.
Однако построить экспериментальные графики движений не очень просто. Самый удобный способ — сделать киносъемку движений колеса, но это уже достаточно дорогостоящий опыт. Замечательно, что зависимость угла от времени для самых разных движений можно определить на опыте с помощью очень простой системы, которая, на первый взгляд, не имеет ничего общего с маятником.
Возьмем тонкую и достаточно длинную стальную проволочку. Она должна легко гнуться без заметной остаточной деформации. Если ее положить на стол и слегка сжать на концах, она примет форму полусинусоиды, как указано в верхней части рис. 4.15.
Проведем касательные к получившейся кривой и будем отсчитывать угол φ, как указано на рисунке. Длину дуги s на кривой будем отсчитывать от точки О, причем слева s 0, а справа s 0. Если на проволочке сделать петельку, как указано в нижней части рис. 4.15, то угол будет принимать значения от -π до +π, если считать проволочку бесконечно длинной. При этом зависимость φ от s описывается формулой (4.9), в которой вместо t надо подставить s, а ω0 определяется силой F, действующей на проволочку. Если проволочка бесконечно длинная, то петелька может располагаться в любом месте, она может свободно перемещаться вдоль проволочки. Эта петелька и есть простейшая модель солитона. Назовем этот солитон «ручным».
С движением маятника связаны любые формы изгиба проволочки. Каждой зависимости φ(s) от s можно поставить в соответствие некоторое движение маятника. Эта замечательная аналогия называется аналогией Кирхгофа в честь открывшего ее знаменитого немецкого физика Густава Кирхгофа (1824—1887) *). На самом деле он нашел гораздо более широкую аналогию между состояниями деформированных упругих тел и движениями твердого тела. К сожалению, о ней сегодня совершенно незаслуженно забыли. Мы немного поговорим о ней после того, как познакомимся с солитоном Френкеля.
*) Формы изгиба упругой проволочки первым изучил Леонард Эйлер. Их называют «эластиками Эйлера».
Заключительные замечания
Метод необходим для отыскания истины.
Р. Декарт
Мы заканчиваем самую трудную главу в этой книге, главное содержание которой — основные идеи теории нелинейных колебаний, изложенные на простейших, но не тривиальных примерах. Читателю, желающему понять, как устроены солитоны, необходимо ясно представить себе линейные и нелинейные колебания маятника. Особенно хорошо нужно понять энергетические соотношения и движения, фазовые траектории которых сепаратрисы (формулы (4.9), (4.10) и рис. 4.14). Эти решения позволят нам понять с помощью простых аналогий очень важные солитоны. Один из примеров — ручной солитон, который связан с асимптотическим движением маятника аналогией Кирхгофа.
И я больше всего дорожу аналогиями,моими самыми верными учителями.И. Кеплер
Метод физических аналогий и моделей, которым с таким успехом пользовались великие физики прошлого века, и сегодня сохраняет ценность. Особенно плодотворен он в теории колебаний, волн и солитонов, где одни и те же уравнения описывают множество совершенно различных систем. Можно высказать некоторые общие принципы получения таких аналогий. Пусть состояния двух систем определяются одинаковым числом переменных, или, как говорят, обобщенных координат (например, угол φ для маятника, заряд конденсатора Q в колебательном контуре и т. д.). Предположим, что энергии этих систем Е1 и Е2 сохраняются и что посредством некоторого переобозначения обобщенных координат и параметров, характеризующих системы (массы, емкости, индуктивности и т. д.), можно сделать величины Е1 и Е2 одинаковыми функциями координат (с точностью до постоянного множителя). Тогда ясно, что системы полностью аналогичны и между их «движениями», каков бы ни был их смысл, можно установить полное соответствие.
Правда, здесь есть некоторые тонкости. Например, новые обобщенные координаты, от которых энергии зависят одинаково, могут изменяться в разных пределах. Более существенная тонкость связана с тем, что для систем разной природы нас могут интересовать разные задачи. Если между системами имеется точная аналогия, то их обобщенные координаты удовлетворяют одинаковым уравнениям движения. (Собственно, это и есть определение точной аналогии, просто иногда удобнее иметь дело с энергией.) Однако мы знаем, что для определения конкретного движения нужно задать некоторые дополнительные условия, например, начальные значения координат и скоростей.
Рассмотрим с этой точки зрения аналогию Кирхгофа. Выше упоминалось о точном соответствии между движением маятника и формой изгиба упругой проволочки (эластика Эйлера). В следующей главе будет показано, что для определения эластики Эйлера нужно решить уравнение маятника φ" = -ω02 sin φ. Однако в этом случае задача ставится совсем не так, как в теории маятника. Аналог времени здесь — длина дуги эластики s, а длина проволочки l фиксирована, так что -1/2l s 1/2l. Нам нужно найти форму проволочки, т. е. φ(s) при заданной внешней силе F. Как мы увидим ниже, величина ω02 пропорциональна F. Если пользоваться аналогией с маятником, то нужно решить довольно странную задачу: найти все возможные движения маятника от «момента» -1/2l до «момента» +1/2l и изучить зависимость этих движений от ω02. Для эластики естественно возникают и другие задачи, например, как найти ее наиболее устойчивую форму, т. е. форму, для которой запасенная в проволочке упругая энергия минимальна. Эти задачи существенно сложнее задач, обычно решаемых в теории маятника, и знакомство с аналогичными, но более просто определяемыми движениями маятника очень помогает при их решении.
Полезны не только точные, но и приближенные аналогии. Типичный пример приближенной аналогии — соотношение между обычным и циклоидальным маятником. Приближенной аналогией следует пользоваться с большей осторожностью, чем точной. Например, при достаточно больших амплитудах колебания обычного и циклоидального маятника становятся качественно различными. Более удачна качественная аналогия между маятником и грузиком на кривой у = α [1 - cos (х/Ь)] в поле силы тяжести, направленной по оси у (грузик в желобе). Введя обозначение φ = х/Ь, можно проверить, что малые колебания грузика вблизи точки φ = 0 соответствуют малым колебаниям маятника с длиной l = b2/α и что для этих двух систем фазовые портреты качественно сходны. На математическом языке можно сказать, что они топологически эквивалентны *). Простой пример такой эквивалентности — изображение нашего лица в кривом зеркале «комнаты смеха».
*) Топологически эквивалентные фазовые портреты легко получить, нарисовав какой-нибудь фазовый портрет на резиновой пленке. Любой портрет, который получается растягиванием пленки без разрывов, топологически эквивалентен исходному. При этом замкнутые кривые остаются замкнутыми, непересекающиеся кривые остаются непересекающимися и т. д.
Топологическую эквивалентность фазовых портретов можно было бы положить в основу определения качественной эквивалентности. Однако с этим связана еще одна тонкость. Все изучаемые в физике модели реальных систем описывают их реальное поведение лишь с какой-то степенью точности. Любая математическая модель физического явления получается упрощением, или идеализацией, реальной системы. Чем сложнее система, тем серьезнее эти упрощения.
