Наконец, в двух последних главах я рассмотрел криволинейные движения тел, которые возникают, когда направление движущих сил не совпадает с направлением брошенного тела. В этом случае тело постоянно отвлекается от прямого пути и принуждено двигаться по кривой. В пятой главе я изложил подобного рода криволинейное движение в пустоте, в шестой я рассмотрел его же в сопротивляющейся среде. Главные задачи, которые даны в этих главах, заключаются в том, чтобы определить кривую, по которой может двигаться любое брошенное тело, подверженное действию каких угодно сил, и вместе с тем дать скорость тела в отдельных точках этой кривой,— причем как в пустоте, так и в сопротивляющейся среде. Из этих основных предложений возникли тогда и другие, где или по данной кривой, описанной телом, или по тому или иному данному виду движения требуется найти как движущие силы, так и сопротивление. И в этом случае я прежде всего стремился к тому, чтобы охватить все относящиеся сюда задачи, разобранные Ньютоном и другими авторами, и дать настоящие решения на основе аналитического метода. На этом заканчивается первый том, который, равно как и второй, я составил так, чтобы человек, имеющий достаточный опыт в анализе конечных и бесконечных, мог с поразительной легкостью все это понять и все это произведение прочесть без чьей бы то ни было помощи.
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
Нередко мне приходилось замечать, что большая часть трудностей, на которые наталкиваются в анализе бесконечно малых изучающие математику, возникает от того, что, едва усвоив элементарную алгебру, они направляют свои мысли к этому высокому искусству; вследствие чего они не только как бы остаются стоять на пороге, но и составляют себе превратные представления о той бесконечно малой величине, идея которой призывается на помощь. Хотя анализ бесконечно малых не требует совершенного знания элементарной алгебры и всех сюда относящихся искусств, однако есть много вопросов, разрешение которых важно для подготовки начинающих к более высокой науке и которые, однако, в элементарной алгебре либо пропускаются, либо рассматриваются не достаточно обстоятельно. Поэтому я не сомневаюсь, что содержание этих книг сможет восполнить с избытком указанный пробел. Я приложил старание не только к тому, чтобы пространнее и отчетливее, чем обычно, изложить все, чего безусловно требует анализ бесконечно малых; я рассмотрел также довольно много вопросов, благодаря которым читатели незаметно и как бы сверх ожидания могут освоиться с идеей бесконечного. Много вопросов, разрабатываемых обычно в анализе бесконечно малых, я здесь разрешил при помощи правил элементарной алгебры, чтобы тем лучше выявилась сущность того и другого метода.
Труд этот делится на две книги: в первой из них я охватил то, что относится к чистому анализу, во второй изложено все, что необходимо знать из геометрии, так как анализ бесконечно малых часто излагается так, что одновременно показывается и его приложение к геометрии. В обеих книгах опущены первоначальные элементы, и ведется изложение лишь, того, что либо в других местах вовсе не рассматривается пли рассматривается менее удобно, либо требуется по тем или иным соображениям.
Учение о функциях особенно обстоятельно изложено в первой книге, так как весь анализ бесконечно малых вращается вокруг переменных величин и их функций. Там показано как преобразование функций, так и разложение их, а также развертывание в бесконечные ряды. Перечисляются многие виды функций, относительно которых речь должна идти преимущественно в высшем анализе. Прежде всего я разделил их на алгебраические и трансцендентные; первые из них образуются из переменных количеств путем алгебраических действий; вторые же составляются иными способами или посредством тех же действий, повторяемых бесконечное множество раз. Алгебраические функции разделяются прежде всего на рациональные и иррациональные; я показываю разложение первых из них как на более простые части, так и на множители; эта операция оказывает весьма большую помощь в интегральном исчислении. Для вторых я указываю способ приведения их к рациональной форме путем удобных подстановок. Развертывание в бесконечные ряды касается в одинаковой степени обоих видов; к трансцендентным функциям оно применяется обычно с огромной пользой, а в какой степени учение о бесконечных рядах расширило высший анализ,— это всем известно.
Поэтому я прибавил несколько глав, где рассматриваются свойства, а также суммы многих бесконечных рядов. Некоторые из них таковы, что вряд ли могли бы быть найдены без помощи анализа бесконечно малых. К рядам этого рода относятся те, суммы коих выражаются или посредством логарифмов, или при помощи круговых дуг [аркусов]; количества эти, будучи трансцендентными, так как они выражаются путем квадратуры гиперболы и круга, по большей части рассматриваются лишь в анализе бесконечно малых. Затем я перехожу от степеней к показательным количествам, представляющим не что иное, как степени с переменными показателями. От преобразований их я перехожу к весьма естественной и богатой идее логарифмов; отсюда не только вытекает, само собой, их весьма обширное применение, но также можно получить все те бесконечные ряды, посредством которых обычно представляются упомянутые количества. Из этого выясняется весьма простой способ составления логарифмических таблиц. Подобным образом я занимался рассмотрением дуг круга; этот род величин хотя и очень отличается от логарифмов, однако связан с ними настолько тесно, что, когда один из них получает мнимый вид, то переходит в другой. Повторив затем из геометрии относящееся к нахождению синусов и косинусов кратных и дробных дуг, я вывел из синуса любой дуги синус и косинус минимальной и как бы исчезающей дуги, и тем самым все свелось к бесконечным рядам. Отсюда, так как исчезающе малая дуга равна своему синусу, а косинус ее равен радиусу, я мог сравнить любую дугу с ее синусом и косинусом посредством бесконечных рядов. Здесь я получил столь разнообразные как конечные, так и бесконечные выражения для количеств этого рода, что исчислению бесконечно малых не придется более широко заниматься исследованием их природы. Подобно тому как логарифмы требуют особого алгоритма, в котором ощущается крайне настоятельная потребность во всем анализе, так и круговые функции я привел к некоторому определенному алгоритму; таким образом, при вычислениях и логарифмы, и сами алгебраические количества могут применяться одинаково удобно. Как велика проистекающая отсюда польза для решения труднейших вопросов, ясно показывают как некоторые главы этой книги, так и весьма многие примеры из анализа бесконечно малых, которые можно было бы привести, если бы они не были уже достаточно известны и не увеличивались в числе с каждым днем.
Это исследование принесло весьма большую помощь при разложении дробных функций на вещественные множители; этот вопрос я рассмотрел подробнее, так как такое разложение совершенно необходимо в интегральном исчислении. Далее я подверг изучению бесконечные ряды, которые возникают из разложения функций этого рода и носят название рекуррентных. Здесь я вывел как их суммы, так и общие члены, а также другие замечательные их свойства; так как к этому привело разложение на множители, то я разобрал и обратную проблему, каким образом произведения многих, даже бесконечного числа, множителей путем перемножения развертываются в ряды. Это не только открывает путь к изучению бесчисленного количества рядов; так как этим способом можно разлагать ряды в произведения из бесконечного числа сомножителей, то я нашел довольно удобные числовые выражения для нахождения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов. Кроме того, я вывел из того же источника решение многих вопросов, которые могут возникнуть при разбиении чисел на слагаемые; вопросы подобного рода без помощи этих приемов, по-видимому, превышают силы анализа.
Такое разнообразие материала легко могло разрастись на много томов; но я дал все, по мере возможности, настолько сжато, что всюду излагается— весьма, впрочем, ясно — лишь основное; более же подробная разработка предоставляется трудолюбию читателей, дабы они имели на чем упражнять свои силы, чтобы еще шире раздвинуть границы анализа. Не боюсь открыто заявить, что в этой книге не только содержится много совершенно нового, но также указаны источники, откуда можно черпать многие значительные открытия.
Точно так же я поступил и во второй книге, где исследовал вопросы, обычно относимые к высшей геометрии. Однако прежде чем приступить к коническим сечениям, к которым в других курсах обычно сводится вся эта часть, я изложил теорию кривых линий вообще, которая затем могла бы быть с пользой применена для изучения природы каких бы то ни было кривых линий. При этом я не пользуюсь никакими другими вспомогательными средствами, кроме уравнения, выражающего природу каждой кривой линии, и показываю, как из этого уравнения можно вывести как вид кривой, так и ее основные свойства. Это особенно важно, как мне кажется, в применении к коническим сечениям, которые до сих пор изучались либо только при помощи геометрии, либо хотя и при помощи анализа, но весьма несовершенным и неестественным путем. Сперва я изложил общие свойства линий второго порядка, исходя из общего уравнения для этих линий; затем подразделил их на роды или виды, руководствуясь тем, имеют ли они ветви, уходящие в бесконечность, или же кривая заключена в конечном промежутке. В первом случае пришлось, сверх того, принять во внимание, сколько ветвей уходит в бесконечность и какова природа каждой из них, а также имеют ли они асимптотические прямые или нет. Так я получил три обычных вида конических сечений, из коих первый — эллипс, целиком заключенный в конечном промежутке, второй — гипербола, имеющая четыре бесконечные ветви, стремящиеся к двум асимптотическим кривым; третьим же видом является парабола, имеющая две бесконечные ветви, у коих отсутствуют асимптоты.
