* Для большей строгости все эти рассуждения нужно было бы провести для малых поворотов e. Раз каждый угол j представляет собой сумму некоторого числа n таких поворотов, j=ne, то R^z (j)=[Rz (e)]n, и общее изменение фазы в n раз превосходит изменение для малого угла 8 и поэтому пропорционально j.
* Точнее, мы определим R^z(j) как поворот физической системы на -j вокруг оси z; это то же самое, что повернуть систему координат на +j.
** Мы всегда вправе выбрать ось z вдоль направления поля при условии, конечно, что его направление не меняется и что больше полей нет.
* В других книгах вы можете встретить формулы с другими знаками; вероятнее всего, в них используются углы, определенные по-иному.
* Кстати, вы можете доказать, что Q^ — это обязательно унитарный оператор, т. е. если он действует на |y>, приводя к |y>, умноженному на некоторое число, то это число должно иметь вид еid, где d — вещественно. Это мелкое замечание, а доказательство основано на следующем наблюдении. Всякая операция наподобие отражения или поворота не приводит к потере каких-либо частиц, так что нормировки |y'> и |y> должны совпадать; отличаться они вправе только на множитель с чисто вещественной фазой в показателе.
Литература: А. Р. Эдмондс, Угловые моменты в квантовой механике, в кн. «Деформация атомных ядер», ИЛ, 1958.
Глава 16
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
§ 1. Электрическое дипольное излучение
§ 2. Рассеяние света
§ 3. Аннигиляция позитрония
§ 4. Матрица поворота для произвольного спина
§ 5. Измерения ядерного спина
§ 6. Сложение моментов количества движения
Добавление 1. Вывод матрицы поворота
Добавление 2. Сохранение четности при испускании фотона
§ 1. Электрическое дипольное излучение
В предыдущей главе мы развили представления о сохранении момента количества движения в квантовой механике и показали, как ими можно воспользоваться для предсказания углового распределения протонов при распаде L0-частицы. Теперь мы хотим добавить еще несколько иллюстраций тех следствий, которые вытекают из сохранения момента количества движения в атомных системах. Первым примером послужит излучение света атомом. Сохранение момента количества движения (наряду с другими обстоятельствами) определит поляризацию и угловое распределение испускаемых фотонов.
Пусть имеется атом в возбужденном состоянии с определенным моментом количества движения, скажем со спином, равным 1; он, излучая фотон, переходит к состоянию с моментом нуль при более низкой энергии. Задача в том, чтобы представить угловое распределение и поляризацию фотонов. (Она очень похожа на задачу о распаде L0-частицы, но только теперь спин равен не 1/2, a 1.) Раз у возбужденного состояния спин равен единице, то для z-компоненты момента имеются три возможности. Значение т может быть или +1, или 0, или -1. Возьмем для примера m=+1. (Если мы разберемся в этом примере, то справимся и с другими.) Предположим, что момент количества движения атома направлен по оси +z (фиг. 16.1, а), и спросим, какова амплитуда того, что он излучит вверх по оси гправополяризованный по кругу свет, так что в результате его момент станет равным нулю (фиг. 16.1, б).
Фиг. 16.1. Атом с т = +1 излучает вдоль оси +z правый фотон.
Ответа на этот вопрос мы не знаем. Но зато мы знаем, что правополяризованный по кругу свет уносит вдоль направления своего распространения одну единицу момента количества движения. Значит, после излучения фотона положение станет таким, как показано на фиг. 16.1, б, т. е. атом остался с нулевым моментом относительно оси z, поскольку мы предположили, что низшее состояние атома имеет спин нуль. Обозначим амплитуду такого события буквой а. Точнее, а будет обозначать амплитуду излучения фотона в некоторый узкий телесный угол DW, окружающий ось z, за время dt. Заметьте, что амплитуда излучения левого фотона в том же направлении равна нулю. У такого фотона момент относительно оси z был бы равен -1, а так как у атома он равен нулю, то и в сумме получилось бы -1, так что момент не сохранился бы. Точно так же, если спин атома вначале направлен вниз (-1 вдоль оси z), то он может излучать в направлении оси +z только левые фотоны (фиг. 16.2).
Фиг. 16.2. Атом с m=-1 излучает вдоль оси z левый фотон.
Амплитуду такого события обозначим буквой b (снова имея в виду амплитуду излучения фотона в некоторый узкий телесный угол DW). С другой стороны, если атом находится в состоянии с m=0, он вообще не сможет испустить фотон в направлении +z, потому что у фотона момент количества движения относительно его направления распространения может быть только +1 или -1.
Далее, можно показать, что b и а связаны. Проделаем над ; системой, изображенной на фиг. 16.1, преобразование инверсии. Это значит, что мы должны представить себе, как будет выглядеть система, если мы каждую ее часть передвинем в соответствующую точку с другой стороны от начала координат. Но это не значит, что следует отражать и векторы момента количества движения, ведь они — искусственные образования. Нужно другое — нужно обратить истинный характер движения, соответствующего такому моменту количества движения.
На фиг. 16.3, а мы показали, как выглядит процесс, изображенный на фиг. 16.1, до и после инверсии относительно центра атома.
Фиг, 16.3. Если процесс (а) преобразовать путем инверсии относительно центра атома, он станет выглядеть, как (б).
Заметьте, что направление вращения атома не изменилось. В обращенной системе (фиг. 16.3, б) получается атом с m=+1, излучающий вниз левый фотон.
Если мы теперь повернем систему, изображенную на фиг. 16.3, б, на 180° вокруг оси х и у, она совпадет с фиг. 16.2. Сочетание инверсии и поворота превращает второй процесс в первый. Пользуясь табл. 15.2 (стр. 129), мы видим, что поворот на 180° вокруг оси у как раз переводит состояние с m=-1 в состояние с m=+1, так что амплитуда b должна быть равна амплитуде а, если не считать возможной перемены знака при инверсии. А перемена знака при инверсии зависит от четностей начального и конечного состояний атома.
В атомных процессах четность сохраняется, так что четность всей системы до и после излучения фотона должна быть одной и той же. Что на самом деле произойдет, зависит от того, положительны или отрицательны четности начального и конечного состояний атома — в разных случаях угловое распределение излучения будет различным. Возьмем обычный случай отрицательной четности начального состояния атома и положительной четности конечного; он даст так называемое «электрическое дипольное излучение». (Если начальное и конечное состояния обладают одинаковой четностью, то говорят, что происходит «магнитное дипольное излучение», напоминающее по характеру излучение витка с переменным током.) Если четность начального состояния отрицательна, его амплитуда при инверсии, переводящей систему из а в б на фиг. 16.3, меняет знак. Конечное состояние атома имеет положительную четность, так что его амплитуда при инверсии знака не меняет. Если в реакции сохраняется четность, то амплитуда b должна быть равна а во величине, но противоположна по знаку.
Мы приходим к заключению, что если амплитуда того, что состояние m=+1 излучит фотон вперед, равна а, то для рассматриваемых четностей начального и конечного состояний амплитуда того, что состояние m=-1 излучит вперед левый фотон, равна -а.
Теперь у нас есть все, чтобы найти амплитуду того, что фотон будет испущен под углом 0 к оси z. Пусть вначале атом поляризован так, что m=+1. Это состояние мы можем разложить на состояния с т = +1, 0, -1 относительно новой оси z', проведенной в направлении испускания фотона. Амплитуды этих трех состояний — как раз те, которые были приведены в нижней половине табл. 15.2 (стр. 129). Амплитуда того, что правый фотон испускается в направлении 0, равна тогда произведению а на амплитуду того, что в этом направлении будет m=+1, а именно
