Согласно семеричной системе, длина окружности считалась равной 22/7 диаметра; это значение, получившее название числа «пи», используется и сегодня для решения многих инженерных проблем. Число «пи» было получено путем деления 22 на 7, так как древние использовали и семеричные и недесятичные (то есть основанные на делении на 11) единицы, чтобы на практике упростить расчеты. Примером недесятичной единицы является английская мерная цепь, равная 66 футам. Акр, первоначально квадрат со стороной 70 ярдов, теперь равен 10 квадратным цепям.
Важная проблема, касающаяся числа «пи», была решена с помощью недесятичных единиц. Единицы объема официально назывались кубами, но мерные сосуды имели форму цилиндра. Вот что должен был знать ординарный гончар, чтобы создать цилиндр, равный по объему данному кубу: надо взять высоту и ширину куба и принять их за высоту и диаметр цилиндра, при этом он измерял цилиндр линейкой, основанной на единице длины, увеличенной на 1/10. В результате получался цилиндр немного большего объема. Если сторона куба равна 10 пальцам, то объем его будет равен 1000 кубическим пальцам. Цилиндр диаметром и высотой 11 пальцев будет иметь объем 1045,4 кубического пальца. Но этот небольшой излишек выравнивался на практике, так как мерный сосуд мог иметь ободок и не наполнялся до краев. Впервые я познакомился с этой процедурой, когда переводил клинописные математические тексты, но позже я обнаружил упоминания о ней в афинских текстах применительно к афинским мерным сосудам.
Скомбинировав семеричную, и недесятичную систему, можно решить массу проблем, связанных с иррациональными числами. В этом заключалась причина того, что строители запланировали высоту Великой пирамиды 280 «королевских» локтей и сторону основания 440 локтей. Приведу простой пример такого комбинирования. Уже говорилось, что квадрат со стороной 100 был в два раза больше квадрата со стороной 70 и в два раза меньше квадрата со стороной 140. Их площади равны соответственно 100 000, 49 000 и 196 000. Чтобы сделать серию более правильной, часто в качестве средней единицы принимался квадрат со стороной 99, тогда получаем: 98 010, 49 000 и 196 000. Когда Геродот описывал площади сторон пирамиды, он пользовался единицей площади, рассчитанной по второму принципу.
Хотя семеричная система была распространена повсюду в древнем мире, в Египте семеричный локоть стал национальным символом, связанным с устройством Египта и космическими законами.
3. Во второй половине XIX века некоторые ученые пытались вывести древние меры из египетской единицы длины. Все серьезные ученые, занимающиеся древними и средневековыми системами мер, знают, что единицы объема и веса выводятся из единицы длины. Единицу объема получали, возведя в куб единицу длины. Единицу веса получали, наполнив единицу объема дождевой водой обычной температуры.
Фридрих Халтш, наиболее авторитетный исследователь древних мер в конце прошлого века, в конце своей жизни сделал заявление, что все древние меры можно вывести из египетского фута, равного 300 миллиметрам, и из соответствующего обычного (не семеричного) локтя, равного 450 миллиметрам. Он также поддерживал распространенную точку зрения о том, что египетская единица веса, называемая qedet, равная 9 граммам, — являлась основной единицей меры веса в древнем мире.
Однако если мы произведем расчеты с египетским футом и локтем, возведенными в куб, то получится два значения для qedet: qedet, равный 9 граммам, относится к qedet, равному 9,1125 грамма, как 80:81. В Египте были в ходу оба qedet. Такое же расхождение наблюдается повсеместно в древнем мире. Принц Михаил Суцу, директор Национального банка Румынии, посвятивший всю жизнь изучению древних мер веса, в 1930 году заключил, что qedet, равный 9 граммам, являлся основной фундаментальной единицей веса в античности, но, объясняя упомянутое расхождение, он предположил, что постепенно шло уменьшение единицы веса, равной 9,2 грамма, принятой в период неолита. Выдвигая подобное предположение, Суцу противоречит своему же утверждению, что на протяжении всей древней истории наблюдается удивительная стабильность единиц мер. Со временем системы мер перестали быть столь точными и стабильными, и одна из причин преследования ученых, занимавшихся историей мер в эпоху Ренессанса, заключалась в том, что к тому времени стандарты сильно пошатнулись.
Существовали две причины особой озабоченности древних людей точностью расчетов: единицы длины использовались для измерений географических расстояний, а единицы веса — для взвешивания серебра и золота, которые заменяли деньги. Поразительная стабильность мер отразилась и в том, что килограмм был определен^ по отношению к парижскому ливру, который напрямую был связан с римской либрой. Из официального определения килограмма выводим ливр, равный 489,5 058 466 грамма. Так как ливр делился на 9216 гран, парижский гран равнялся 0,05 311 478 грамма. Исторически парижский ливр был утвержден на основе того, что был установлен фиксированный парижский гран, равный 1/6100 древнеримской либры, а римская либра равнялась 324 граммам, или 36 египетским qedet. Если бы сохранился первоначальный стандарт, парижский гран в момент принятия Францией метрической системы был бы равен 0,05 311 475 грамма, а ливр 489,5 055 737 грамма. По сути, парижский ливр и римская либра вроде бы неплохо сохранились, хотя авторы французской метрической системы не пытались найти теоретическое обоснование ливра, а просто вывели среднее арифметическое нескольких единиц веса, которые были в их распоряжении. Ученые XVII века сетовали на то, что парижские меры не точно выверены, в отличие от них английские меры веса более точные.
Английский гран оставался стабильным и был равен 1/5000 римской либры. Английская мера веса не менялась со времен шумеров. Самая древняя мера веса, о которой я нашел упоминание в археологических документах, найдена в Тепе-гавра в Ираке, около современного Мосула. Нижние слои Тепе-гавра содержат признаки самых первых этапов перехода от деревенской к городской жизни. Ранние меры веса Тепе-гавра опережают примерно на тысячелетие изобретение письменности. Согласно моим исследованиям, они являются долями современной английской унции, равной 28,350 грамма.
4. Халтш был уверен, что все меры в древнем мире выведены из египетского фута, но он не мог объяснить, как римский фут, равный примерно 296 миллиметрам, мог быть произведен из египетского фута, равного 300 миллиметрам. Ключ к решению этой проблемы нашел в 1942 году археолог Огюст Оксе, опубликовавший монографию, в которой объяснял, что большинство древних единиц объема и веса существовали в двух вариантах и относились друг к другу как 12,5:12, 25:24, 50:48 и т. д. Первые цифры он называл брутто, а вторые — нетто. Причина появления второй серии в том, что невозможно с практической точки зрения разделить десятично куб на меньшие кубы.
Развив теорию Оксе, я пришел к логическому заключению, что единицы длины тоже должны были существовать в двух вариантах, одна равна ребру куба, содержащего единицу брутто, а другая — ребру куба, содержащего единицу нетто. Первую группу я назвал натуральные единицы, а вторую — усеченные. Две единицы относятся друг к другу как 25:24.
Из египетского локтя (фута?), равного 300 миллиметрам, получаем основной талант брутто, равный 27 000 кубических сантиметров, или граммов. Куб римского фута (или квадрантал) должен быть равен 24 /25 предыдущей единицы, а именно основному таланту нетто, равному 25 920 сантиметрам, или граммам.
Соответственно я смог установить, что римский фут равен таким образом 295,9454, что согласуется с установленными фактами. Обосновав теоретически величины римского фута и куба римского фута, или, как его называли римляне, римского квадрантала, я смог рассеять противоречия, которые одолевали ученых эпохи Возрождения. Так же как и римский фут, римская либра существовала в двух вариантах.
Единицы объема и веса существовали в двух разновидностях, относящихся друг к другу как 80:81. Наиболее яркий пример такого расхождения то, что следующим после квадрантала (кубического римского фута) 80 либра (librae) идет квадрантал 81 либра. Этот больший квадрантал имеет ребро, соотносящееся с особым римским футом, равным 297,1734 миллиметра, который называли геометрическим футом в средневековье. Разделив квадрантал 81 либра на квадрантал 80 либра, римляне получали либру 328,05 грамма, которая в средневековье называлась геометрической либрой. Ребро большего квадрантала, римский геометрический фут, был стандартной единицей при планировании большинства памятников классических Афин.
Больший римский квадрантал, куб римского геометрического фута по 297,1734 миллиметра, содержит 26 244 кубических сантиметра, или грамма. Эта мера сохранялась до недавнего времени в русском четверике. Закон 1918 года, который ввел французскую метрическую систему, зафиксировал четверик, равный 26 239 кубическим сантиметрам.
