В августе 1998 г., когда произошел структурный сдвиг, формула тренда приобрела иной вид:
USDOLLAR = 1,927 × USDOLLAR(-1) — 0,928 × USDOLLAR(-2) + 1,865 × DUMMY (5.9.2)
Интерпретация формулы (5.9.2) аналогична предыдущей, за исключением того, что появление в уравнении фиктивной переменной DUMMY свидетельствует о единовременном повышении курса доллара в августе 1998 г. на 1,865 руб.
В сентябре 1998 г., когда имело место первое структурное изменение наклона, формула тренда снова изменилась:
USDOLLAR = 1,927 × USDOLLAR(-1) — 0,928 × USDOLLAR(-2) + 0,754 × USDOLLAR(-2) × DUMMY09 + 1,865 × DUMMY
(5.9.3)
Формула (5.9.3) отличается от уравнения (5.9.2) тем, что у нее появилась фиктивная переменная наклона USDOLLAR(-2) × DUMMY09, показывающая увеличение коэффициента регрессии у переменной
USDOLLAR(-2) на 0,754. Следовательно, с этого месяца вклад переменной USDOLLAR(-2) в динамику курса доллара с учетом структурного наклона, стал следующим: рост на 1 руб. курса доллара в прошлом месяце способствовал снижению курса доллара в будущем месяце в среднем на -0,174 руб.
В октябре 1998 г. после второго структурного изменения наклона наша формула приобрела следующий вид:
USDOLLAR = 1,927 × USDOLLAR(-1) — 0,818 × USDOLLAR(-1) × DUMMY10- 0,928 USDOLLAR(-2) + 0,754 × USDOLLAR(-2) × DUMMY09 + 1,865 × DUMMY
(5.9.4)
Формула (5.9.4) отличается от предыдущей лишь тем, что у нее появилась фиктивная переменная наклона USDOLLAR(-1) × DUMMY10, которая показывает уменьшение коэффициента регрессии у переменной USDOLLAR(-1) на -0,818. Следовательно, с октября 1998 г. вклад переменной USDOLLAR(-2) в динамику курса доллара изменился таким образом: рост на 1 руб. курса доллара в текущем месяце способствовал повышению курса доллара в будущем месяце в среднем на 1,109 руб.
Следует иметь в виду, что формула (5.9.4) отличается, например, от формулы (3.4), описывающей аналогичный период, поскольку у этих формул разное число оцениваемых параметров.
На диаграмме, представленной на рис. 5.14, изображен график, наглядно показывающий характер структурных изменений в динамике курса доллара, произошедших во время кризиса 1998 г. В частности, здесь можно увидеть как структурный сдвиг, произошедший в августе 1998 г., так и первое, и второе структурные изменения наклона, имевшие место в сентябре и октябре 1998 г.
Математические подробности по тесту Д.
ГуйаратиАмериканский экономист Д. Гуйарати для оценки структурных изменений в динамике тренда, происходящих в момент времени t*, предложил оценивать параметры следующего уравнения регрессии с фиктивными переменными:
Yt = а + b × Zt + с × t + d × (Zt × t) + е, (5.10)
где Yt — зависимая переменная; t — время;
а, b, с, d — параметры уравнения регрессии;
е — ошибка (остатки);
Zt — фиктивная переменная, которая при t < t' равна нулю, а при t ≥ t' равна единице.
Следовательно для момента времени t < t' мы получим следующее уравнение регрессии:
Zt= 0 => Y,= а + b × 0 + с × t + d × (0 × t) + e=>Yt = a+ c × t + e. (5.10.1)
Соответственно для момента времени t> f уравнение примет такой вид:
Zt= 1 => Yt = a+b × l+c × t + d × (1 × t) + е =>
=>Yt = (a+b) + (c+d) × t + e. (5.10.2)
Сравнив уравнение (5.10.1) с уравнением (5.10.2), нетрудно прийти к выводу, что при Zt= 1 свободный член уравнения а2=(а+ b), а коэффициент регрессии — c2× t = (c+d) × t. Соответственно при Zt= 0 свободный член уравнения а1 = а, а коэффициент регрессии — с1× t= с × t. Таким образом, параметр b можно рассматривать как разницу между а1 и а2, т. е. между свободными членами уравнений (5.10.1) и (5.10.2). В свою очередь параметр d следует рассматривать как разницу между c1 и с2, т. е. между коэффициентами регрессии уравнений (5.10.1) и (5.10.2). Следовательно, параметр b оценивает структурный сдвиг, а параметр d — структурное изменение наклона в уравнении регрессии, произошедшее в момент времени t'. Оценку параметров bud можно провести, решив уравнение регрессии, а затем оценив их значимость при помощи t-критерия Стьюдента.
Подробности по этой теме можно узнать, ознакомившись с соответствующей литературой[17].
Таким образом, с помощью метода, предложенного американским экономистом Д. Гуйарати, нам удалось выяснить, что во временном ряде по ежемесячному курсу доллара, охватывающем период с июня 1992 г. по апрель 2010 г., после августовского дефолта 1998 г. произошли следующие структурные изменения: во-первых, в августе 1998 г. произошел структурный сдвиг; во-вторых, в сентябре 1998 г. имело место первое структурное изменение наклона (изменился коэффициент регрессии факторной переменной с лагом в два месяца); в-третьих, в октябре 1998 г. имело место второе структурное изменение наклона (изменился коэффициент факторной переменной с лагом один месяц).
5.7. Построение статистической модели с оптимальным диапазоном интервального прогноза
А теперь посмотрим, подтвердит ли эти структурные изменения во временном ряде тест Чоу на точность прогноза. С этой целью проведем тестирование модели USDOLLAR = а × USDOLLAR(-l) + b × USDOLLAR(-2), построенной на основе данных за период с июня 1992 г. по апрель 2010 г. При этом проверять на наличие структурной стабильности будем такие месяцы, как июль — декабрь 1998 г. и январь 1999 г., поскольку тест Д. Гуйарати показал наличие структурных изменений в августе — октябре 1998 г., но для большей надежности мы решили несколько расширить этот временной диапазон.
В результате получилась табл. 5.16, согласно которой уровень значимости F-критерия и LR-статистики для июля — октября 1998 г. оказался равен нулю, что опровергает нулевую гипотезу о структурной стабильности временного ряда относительно тестируемых наблюдений. Кстати, на основе этого теста аналогичный вывод можно сделать и для всех наблюдений с августа 1992 г. по октябрь 1998 г. включительно; в то время как уровень значимости F-критерия и LR-статистики по итогам проведения теста Чоу на точность прогноза относительно ноября 1998 г. и остальных, более поздних наблюдений (за исключением января — февраля 2009 г., но этот факт мы рассматриваем как временное явление) будет выше 0,05. Отсюда можно сделать вывод, что нулевая гипотеза о наличии структурной стабильности в этой части временного ряда подтверждается, что совпадает с аналогичными результатами, полученными с помощью метода Д. Гуйарати.
