6.2. Построение модели авторегрессии со скользящей средней и стационарной ARMA-структурой
Нам удалось выяснить, что созданный логарифмический временной ряд стационарен. Однако нужно еще построить уравнение авторегрессии со стационарной ARMA-структурой, что очень важно с точки зрения получения устойчивых (к воздействию внешних шоков) коэффициентов регрессии и получения надежных прогнозов. Этой проблемой мы уже занимались (см. алгоритм действий № 13 «Тестирование стационарности авторегрессионного процесса, описываемого уравнением USDOLLAR = а × USDOLLAR(-l) + b × USDOLLAR(-2), путем нахождения корней характеристического уравнения»), но тогда нам не удалось получить уравнение авторегрессии со стационарной ARMA-структурой.
Мы уже довольно много времени уделили построению нестационарной прогностической модели USDOLLAR = а × USDOLLAR(-l) + b × USDOLLAR(-2). Поскольку при этом нам приходилось учиться, то все процедуры, необходимые для построения этой модели, вводились не сразу, а постепенно, чтобы облегчить их усвоение. Теперь перед нами стоит задача построить стационарную прогностическую модель. При этом мы будем пользоваться теми же процедурами, которые использовались при создании прогностической модели USDOLLAR = а × USDOLLAR(-l) + b × USDOLLAR(-2). Чтобы не останавливаться на уже пройденном, но вместе с тем более четко структурировать полученные ранее знания, перечислим основные статистические процедуры, которые необходимо использовать при построении любой авторегрессионной (AR) или авторегрессионной со скользящей средней (ARMA) прогностической модели (алгоритм действий № 22).
Алгоритм действий № 22 Перечень действий, необходимых для построения статистической модели, представляющей собой уравнения авторегрессии (AR) или уравнения авторегрессии со скользящей средней (ARMA)
1. Построение коррелограммы в EViews с целью определения параметров р и q в модели ARMA(p, q). Коррелограмма поможет нам определить лаговые переменные в уравнении авторегрессии (см. алгоритм действий № 5 «Как построить коррелограмму в EViews»).
2. Решение уравнения регрессии и проверка значимости всех его параметров. Этот вопрос можно считать самым важным из всего нашего перечня (см. алгоритм действий № 3 «Как решить уравнение регрессии в Excel», алгоритм действий № 4 «Оценка статистической значимости уравнения регрессии и его коэффициентов» и алгоритм действий № 6 «Как решить уравнение регрессии в EViews»).
3. Тестирование AR- или ARMA-структуры уравнения на стационарность (см. алгоритм действий № 13 «Тестирование на стационарность AR-структуры уравнения USDOLLAR = а × USDOLLAR(-1) + b × USDOLLAR(-2) путем нахождения корней характеристического уравнения»). Тестирование исходного (а при необходимости и логарифмического) временного ряда на стационарность (см. алгоритм действий № 21 «Как провести тест на стационарность исходного уровня временно го ряда»),
4. Тестирование AR- или ARMA-структуры уравнения на импульсный ответ (см. алгоритм действий № 14 «Тестирование на импульсный ответ AR-структуры нестационарного процесса, описываемого уравнением USDOLLAR = а × USDOLLAR(-1) + b × USDOLLAR(-2)»).
5. Проверка остатков, полученных в результате решения уравнения регрессии, на наличие в них автокорреляции (см. алгоритм действий № 7 «Как выполняется LM-тест Бройша — Годфри в EViews»).
6. Проверка остатков на стационарность (см. алгоритм действий № 9 «Как в EViews проверить остатки на стационарность»),
7. Проведение анализа стандартных или стьюдентизированных остатков на наличие выбросов (в первую очередь тех, которые влияют на текущий прогноз), теста Чоу на точность прогноза (см. алгоритм действий № 17 «Диагностика в EViews влияния стьюдентизированных остатков на уравнение регрессии для прогностической модели USDOLLAR = а × USDOLLAR(-1) + b × USDOLLAR(-2)» и алгоритм действий № 19 «Методика проведения теста Чоу на точность прогноза для прогностической модели USDOLLAR = а × USDOLLAR(-1) + b × USDOLLAR(-2)»).
8. Если мы получили стационарные остатки и автокорреляция в остатках не выявлена (в противном случае над уравнением регрессии придется снова поработать), то следующим нашим шагом будет оценка точности полученного уравнения регрессии (см. алгоритм действий № 8 «Как оценить точность статистической модели в EViews»).
9. Если точность прогностической модели нас устроила (см. алгоритм действий № 11 «Как в EViews построить точечный прогноз»), то в этом случае мы проверяем остатки на нормальное распределение. А затем строим интервальные прогнозы (см. алгоритм действий № 12 «Как в EViews построить интервальные прогнозы»), проверяя уровень их надежности на соответствие нормальному распределению, на основе которого строятся доверительные интервалы.
10. Чтобы использовать прогнозы стационарной статистической модели в качестве инструмента торговой системы, необходимо на основе этой модели составить прогнозы по рекомендуемым курсам покупки и продажи валюты с односторонним ограничением риска на уровне 60–90 % надежности. При этом прогнозы по рекомендуемым курсам покупки и продажи валюты могут использоваться в качестве стоп-заявок (подробнее об этом читатель узнает в главе 7).
Таким образом, создавая уравнение авторегрессии со стационарной ARMA-структурой на основе логарифмического временного ряда, необходимо выполнить все действия, которые перечислены в алгоритме действий № 22. При необходимости этот перечень каждый исследователь может расширить, если сочтет необходимым исходя из тех или иных соображений.
Однако далее при составлении стационарной статистической модели мы остановимся лишь на наиболее важных моментах этой работы. Первым делом нам необходимо найти с помощью EViews коррелограмму логарифмического временного ряда. С этой целью нужно открыть ранее созданный файл USDOLLAR1 с логарифмическим временным рядом и воспользоваться алгоритмом действий № 5 «Как построить коррелограмму в EViews». В результате у нас получилась табл. 6.3 с коррелограммой логарифмического временного ряда, полученного от исходного временного ряда «Курс доллара за период с июня 1992 г. по июнь 2010 г.». В полученной коррелограмме можно увидеть, как меняются коэффициенты автокорреляции (Autocorrelation, или АС) и частной автокорреляции (Partial Correlation, или РАС) в зависимости от изменения величины лага.
Судя по табл. 6.3, уровень автокорреляции (АС) между исходными уровнями временного ряда US Dollar 1 постоянно убывает, начиная с первого лага. В свою очередь уровень частной корреляции (РАС) резко снижается уже после первого лага, а после второго лага осциллирующим образом стремится к нулю (фактически колеблется вокруг нуля). Если мы хотим построить модель авторегрессионного процесса AR(p), то для определения оптимального числа р мы должны использовать частную автокорреляционную функцию. При этом следует исходить из следующего критерия: оптимальное число р в уравнении авторегрессии должно быть меньше лага, в котором частная автокорреляционная функция начинает стремиться к нулю. Судя по коррелограмме, помещенной в табл. 6.3, коэффициент частной автокорреляции для лага в один месяц (или лага 1-го порядка) равен 0,967, а для лага в два месяца (или лага 2-го порядка) = 0,005. Причем начиная с этого лага величина коэффициента колеблется вокруг нулевого уровня. Следовательно, можно сделать вывод, что для прогнозирования курса доллара с помощью модели авторегрессии необходимо использовать модель AR(1), которая примет следующий вид:
