Кватернионы представляют собой некоторую алгебраическую структуру, находящуюся в близком родстве с комплексными числами. Гамильтон был убежден, что они содержат в себе ключ к глубочайшим областям физики, а на склоне жизни убедил себя, что в них содержится ключ буквально ко всему. История, похоже, не согласилась с этой оценкой, и в течение следующего столетия кватернионы медленно тускнели, пропадая из поля общественного интереса, превратившись в тихую заводь абстрактной алгебры без серьезных применений.
Совсем недавно, однако, кватернионы пережили возрождение. И даже если они никогда не займут того положения, которое прочил им Гамильтон, их чем дальше, тем больше рассматривают как значимый источник важных математических структур. Кватернионы оказались очень специальным явлением — как раз настолько специальным, насколько этого требуют современные физические теории.
Сразу после открытия кватернионы произвели мощный переворот в алгебре. Они нарушили одно из важных алгебраических правил. На протяжении периода в двадцать лет чуть ли не все правила алгебры нарушались одно за другим, что иногда приносило богатейшие плоды, но ничуть не реже приводило в бесплодные тупики. То, что математики середины 1850-х годов воспринимали как не подлежащие изменениям правила, оказалось просто набором удобных допущений, облегчавших жизнь алгебраистам, но не всегда отвечавших более глубоким потребностям самой математики.
В этом прекрасном новом «постгалуавском» мире алгебра уже не сводилась к простому использованию в уравнениях букв вместо чисел. Алгебра имела дело с глубокой структурой уравнений — не с числами, а с процессами, преобразованиями, симметриями. Эти радикальные перемены изменили лицо математики. Она стала более абстрактной, но одновременно и более общей, и более мощной. А также приобрела зачаровывающую, порой сверхъестественную красоту.
До того как болонские математики эпохи Возрождения задались вопросом о том, имеется ли смысл в квадратном корне из минус единицы, все появляющиеся в математике числа принадлежали одной системе. Даже сегодня, в качестве наследия исторической путаницы во взаимоотношениях математики и реальности, эта система известна как вещественные числа. Название не слишком удачное, потому что оно предполагает, что эти числа некоторым образом принадлежат к ткани вселенной, а не порождены человеком в попытке понять ее структуру. Но это не так. Эти числа не более вещественны, чем любые другие «числовые системы», созданные человеческим воображением за последние 150 лет. Правда, они имеют более непосредственное отношение к реальности, чем большинство новых систем. Они очень точно соответствуют идеализированному измерению.
Вещественное число по сути представляет собой десятичную дробь. Дело не в конкретной выбранной системе записи — которая создана просто для удобства вычислений с числами, — а в тех более глубоких свойствах, которые присущи десятичным дробям. Вещественные числа произошли от предшественников попроще, с меньшими амбициями. Сначала человечество тащилось по направлению к системе «натуральных чисел» 0, 1, 2, 3, 4 и так далее. Я сказал «тащилось», потому что на начальном этапе некоторые из этих чисел числами вовсе не считались. Было время, когда древние греки отказывались считать 2 числом; оно было слишком маленьким, чтобы демонстрировать «численность», типичную для других чисел. Числа тогда начинались с 3. В конце концов было осознано, что 2 — число в той же мере, что и 3, 4 или 5, но затем камнем преткновения оказалась единица. В самом деле, если кто-то говорит про себя, что у него имеется «некоторое число коров», а вы обнаруживаете, что у него одна-единственная корова, то не будет ли он повинен в вопиющем преувеличении? «Число», без сомнения, означало «множественность», в которой нет места единичности.
Но по мере развития систем обозначений стало кристально ясно, что единица — ровно в той же мере часть системы вычислений, что и ее старшие братья. Таким образом, единица стала числом — правда, специальным, очень маленьким. В некотором смысле оно оказалось самым важным из всех, поскольку именно там, в единице, числа начинались. Прибавлением друг к другу большого числа единиц можно получить все остальное — и в течение некоторого времени обозначения буквально выражали эту идею, например, число семь записывалось в виде семи черточек — как |||||||.
Много позднее индийские математики поняли, что есть даже более важное число, предшествующее единице. На самом деле числа начинались не там. Они начинались в нуле, который теперь изображается символом 0. Еще позднее оказалось полезным ввести в обиход отрицательные числа — числа, меньшие чем ничто. Таким образом, с присоединением отрицательных, человечество изобрело систему целых чисел: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …. Но этим дело не закончилось[39].
Проблема с целыми числами состоит в том, что они не позволяют представить целый ряд полезных величин. Фермер, продающий зерно, например, может пожелать указать количество пшеницы как нечто между 1 мешком и 2 мешками. Если это будет примерно посередине между этими двумя мерами, то желаемое количество мешков равно 11/2. Или несколько меньше — 11/4, или, наоборот, больше — 13/4. Таким образом (с использованием самых разнообразных систем для их обозначения) были изобретены дроби. Дроби интерполируют между целыми числами.
Достаточно сложные дроби могут интерполировать с исключительной точностью, в чем мы уже могли убедиться, рассматривал вавилонскую арифметику. Крепла уверенность, что любую величину можно представить в виде дроби.
Но тут на сцену выходят Пифагор и носящая его имя теорема. Немедленное следствие этой теоремы состоит в том что длина диагонали единичного квадрата представляет собой число, квадрат которого равен в точности 2. Иными словами, диагональ имеет длину, равную квадратному корню из 2. Такое число обязано существовать, поскольку каждый может нарисовать квадрат, а у него, разумеется, есть диагональ, а она, без сомнения, имеет длину. Но, как осознал на свою беду Гиппас, чем бы ни был квадратный корень из 2, он не может точно выражаться в виде дроби. Это число иррациональное. Таким образом, потребовалось еще больше чисел для заполнения невидимых дыр между всеми возможными дробями.
В конце концов этот процесс вроде бы достиг конечной остановки. Греки предпочитали числовым схемам геометрию, но в 1585 году Вильгельм Молчаливый[40] назначил фламандского математика и инженера Симона Стевина из Брюгге учителем своего сына Морица Оранского. Стевин занимал должности инспектора плотин, начальника снабжения армии, а также министра финансов. Эти должности, в особенности две последние, убедили его в важности ведения бухгалтерского учета, и он позаимствовал системы, использовавшиеся в итальянских конторах. В поисках такого способа представлять дроби, который соединял бы в себе гибкость индо-арабских позиционных обозначений и высокую точность вавилонских шестидесятеричных дробей, Стевин предложил аналог вавилонской системы, но с основанием 10 вместо основания 60, — то есть десятичные дроби.
Стевин опубликовал очерк, описывающий его новую систему обозначений. Он в достаточной мере осознавал проблемы маркетинга и включил утверждение, что его идеи успешно прошли «тщательные испытания людьми практической закалки, которые нашли их настолько полезными, что они добровольно отказались от своих собственных усовершенствований в пользу данного». Далее он утверждал, что его десятичная система «учит нас, что все вычисления, которые встречаются при ведении бизнеса, можно выполнить в одних только целых числах, не прибегая к помощи дробей». В обозначениях Стевина не использовалась современная десятичная запятая, нотам было нечто близкое. Там, где мы пишем «3,1416», Стевин писал бы 31416. Символ указывал на целое число, — на десятые, — на сотые и т.д. По мере того как люди привыкли к этой системе, они перестали писать , и т.д., оставив только знак , который мутировал в десятичную запятую.
На самом деле с использованием десятичных дробей записать квадратный корень из двух нельзя — если только в ваши планы не входит продолжать эту запись без конца. Но равным образом нельзя записать в виде десятичной дроби и 1/3. Близким к 1/3 значением будет 0,33, но еще ближе 0,333, а сверх того лучше 0,3333 и так далее. Точное представление существует — тут мы употребим это слово новым для себя способом, — только если рассматривать бесконечную последовательность троек. Но если такое приемлемо, то можно в принципе точно записать и квадратный корень из двух. В том, как там устроены десятичные знаки, не видно никакого порядка, но, взяв достаточно большое количество этих знаков, можно получить число, квадрат которого настолько близок к числу 2, насколько пожелаете. Идея в том, что если взять все десятичные знаки, получится число, квадрат которого равен точно 2.
