После принятия «бесконечных десятичных дробей» система вещественных чисел стала полной. В ней оказалось возможным представить любое число, которое может потребоваться бизнесмену или математику, с любой желаемой точностью. Всякое измерение, которое только можно себе вообразить, давало результат, выразимый десятичной дробью. Если требовалось записать отрицательные числа, десятичная система с легкостью справлялась с этой задачей. Нужды ни в каких числах какого-либо другого сорта не возникало. Не осталось никаких пробелов, которые надо было бы заполнить.
Если не считать….
Те странные формулы Кардано для корней квадратного уравнения, казалось, пытались нам что-то сообщить, но что именно — оставалось крайне неясным. Если начать с совершенно, казалось бы, безобидного уравнения третьей степени — такого, где корень нам известен, — то формула не дает этот ответ в явном виде. Вместо этого она предлагает громоздкое предписание, включающее извлечение кубического корня из чего-то даже еще более громоздкого, и при этом требуется, казалось бы, невозможное — извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Пифагорейцев ставил в тупик квадратный корень из двух, но квадратный корень из минус единицы казался еще более непостижимым.
На протяжении нескольких сотен лет возможность придания разумного смысла квадратному корню из минус единицы периодически то посещала коллективное математическое сознание, то покидала его. Никто не понимал, могут ли такие числа существовать. Постепенно, однако, зрело осознание, что если бы они существовали, то были бы исключительно полезны.
Первоначально такие «мнимые» величины использовались ровно для одной цели: указывать на задачи, не имеющие решения. Если вы желали найти число, квадрат которого равен минус единице, то формальное решение «квадратный корень из минус единицы» было мнимым — в смысле воображаемым, — поскольку такого решения не существовало. Не кто иной, как мыслитель Рене Декарт, именно так и утверждал. В 1637 году он проводил различие между «вещественными» числами и «мнимыми», настаивая, что присутствие мнимых величин означает отсутствие решения. Ньютон говорил то же самое. Но оба эти светила не принимали во внимание сделанное столетиями раньше наблюдение Бомбелли о том, что иногда мнимые величины указывают на наличие решения, — но только сигнал, который они подают, нелегко расшифровать.
В 1673 году английский математик Джон Валлис — родившийся в Эшфорде, примерно в пятнадцати милях от моего родного города в графстве Кент — добился фантастического продвижения. Он обнаружил, что простой способ представления мнимых чисел — и даже «комплексных» чисел, которые соединяют в себе вещественные и мнимые — состоит в том, чтобы использовать точки на плоскости. Первым шагом является ныне вполне привычная концепция вещественной «числовой прямой» — прямой линии, простирающейся до бесконечности в обоих направлениях, с отметкой о посередине, направо от которой уходят вдаль положительные вещественные числа, а налево — отрицательные.
Каждое вещественное число можно поместить на числовую прямую. Каждый следующий десятичный знак требует деления единицы длины на десять, затем на сто, тысячу и т.д. равных частей, но это не проблема. Положение чисел, подобных √2, можно указать с любой желаемой степенью точности — в данном случае где-то между 1 и 2, немного слева от 1,5. Число π живет немного справа от 3, и т.д.
Вещественная числовая прямая.
Но куда же отправить √−1? Места на вещественной числовой прямой для этого числа нет. Это число ни положительно, ни отрицательно, поэтому ему не место ни справа, ни слева от точки 0.
Валлис поместил его где-то еще. Он ввел вторую числовую прямую, чтобы разместить на ней мнимые числа, т.е. числа, кратные i,[41] и расположил ее под прямым углом к вещественной числовой прямой. Это был в буквальном смысле образец «широкого подхода к делу».
Две числовые прямые, вещественная и мнимая, должны пересекаться в точке 0. Совсем не сложно доказать, что если числа вообще имеют смысл, то 0 умножить на i должно равняться 0, так что начало отсчета на вещественной и мнимой прямых одно и то же.
Два экземпляра вещественной числовой прямой, расположенные под прямым углом.
Комплексная плоскость, согласно Валлису.
Комплексное число состоит из двух частей: одна вещественная, другая мнимая. Чтобы указать положение заданного числа на плоскости, Валлис предложил своим читателям отмерить вещественную часть вдоль горизонтальной «вещественной» прямой, а затем отмерить мнимую часть вдоль вертикального направления, то есть параллельно мнимой прямой.
Это предложение полностью решило вопрос о придании смысла мнимым и комплексным числам. Оно было простым, но эффективным — настоящей работой гения.
Оно было целиком и полностью проигнорировано.
Несмотря на отсутствие общественного признания, открытие Валлиса, должно быть, как-то просочилось в математическое сознание, поскольку математики бессознательно начали использовать образы, непосредственно связанные с основной идеей Валлиса: комплексные числа живут не на прямой, а на комплексной плоскости.
По мере того как математика становилась более разнообразной, математики переходили к вычислению все более сложных вещей. В 1702 году Иоганн Бернулли, решая некоторую задачу из анализа, столкнулся с проблемой вычисления логарифма комплексного числа. К 1712 году Бернулли и Лейбниц воевали по поводу следующего ключевого вопроса: чем является логарифм отрицательного числа? Если бы этот вопрос удалось решить, можно было бы найти логарифм любого комплексного числа, потому что логарифм квадратного корня из заданного числа равен просто половине его логарифма. Таким образом, логарифм числа i составляет половину логарифма числа −1. Но чему равен логарифм −1? Вопрос стоял просто. Лейбниц полагал, что логарифм числа −1 должен быть комплексным. Бернулли говорил, что вещественным. Бернулли основывал свое заключение на несложных выкладках из математического анализа; Лейбниц возражал, что ни сам метод, ни полученный ответ не имеют смысла. В 1749 году Эйлер разрешил это противоречие, всецело встав на сторону Лейбница. Бернулли, по его наблюдению, упустил кое-что из виду. Его выкладки из анализа носили такой характер, что ответ включал в себя добавление «произвольной постоянной». Полностью сосредоточившись на комплексном анализе, Бернулли молчаливо предполагал, что эта постоянная равнялась нулю. А она нулю не равнялась. Она была мнимой. Это упущение объясняло расхождение между ответами Бернулли и Лейбница.
Темпы «комплексификации» математики нарастали. Все больше идей, появившихся при изучении вещественных чисел, распространялись на комплексные числа. В 1797 году норвежец по имени Каспар Вессель опубликовал метод представления комплексных чисел точками на плоскости.
Каспар происходил из семьи священника и был шестым из четырнадцати детей. В то время в самой Норвегии университетов не было, но она находилась в унии с Данией, так что в 1761 году он отправился в Копенгагенский университет. Он и его брат Оле изучали право, причем Оле, чтобы пополнить семейный бюджет, подрабатывал землемером. Позднее Каспар стал помощником Оле.
Работая землемером, Каспар изобрел способ представления геометрии на плоскости — в особенности линий и их направлений — в терминах комплексных чисел. В ретроспективе мы видим, что его идеи означали представление комплексных чисел в терминах геометрии на плоскости. В 1797 году он представил свою работу — первую и единственную свою научную статью по математике — Датской Королевской Академии.
Едва ли кто-нибудь из ведущих математиков читал по-датски, и работа влачила «непрочитанное существование», пока через 100 лет ее не перевели на французский. Тем временем французский математик Жан-Робер Арган независимо предложил ту же идею и опубликовал ее в 1806 году. В 1811 году та же мысль, что комплексные числа можно рассматривать как точки на плоскости, — снова независимо — пришла в голову Гауссу. Названия «диаграмма Аргана», «плоскость Весселя» и «Гауссова плоскость» стали входить в обиход. Представители различных наций склонялись к использованию различных способов выражения.
Завершающий шаг предпринял Гамильтон. В 1837 году, почти через триста лет после того, как из формул Кардано стала видна возможная польза от мнимых чисел, Гамильтон устранил геометрический элемент и свел комплексные числа к чистой алгебре. Его идея была проста; она неявно следовала из предложения Валлиса и в эквивалентной форме содержалась у Весселя, Аргана и Гаусса. Но никто из них не сделал ее явной.
