классифицировать поверхности (с краем и без края) можно. Каждая замкнутая поверхность гомеоморфна сфере с ручками или сфере со скрещенными колпаками. То есть каждая ориентируемая поверхность топологически эквивалентна тору с каким-то числом дырок, а каждая неориентируемая поверхность — сфере с одной или большим числом прикрепленных к ней лент Мёбиуса. На самом деле теорема даже сильнее. Если дана произвольная замкнутая поверхность, для которой известна эйлерова характеристика и ориентируема она или нет, то эту поверхность можно точно идентифицировать.
Теорема классификации поверхностей
Замкнутая поверхность однозначно определяется эйлеровой характеристикой и ориентируемостью. Ориентируемая поверхность гомеоморфна сфере с g ручками для некоторого g ≥ 0. Неориентируемая поверхность гомеоморфна сфере с c скрещенными колпаками для некоторого c > 0.
Например, предположим, что S — ориентируемая замкнутая поверхность с эйлеровой характеристикой –6. Поскольку S ориентируемая, мы знаем, что она гомеоморфна сфере рода g (сфере с g ручками), где –6 = χ(S) = 2 — 2g. Следовательно, S гомеоморфна тору с 4 дырками. Аналогично, если T — неориентируемая замкнутая поверхность с эйлеровой характеристикой –4, то она гомеоморфна сфере с с скрещенными колпаками, где –4 = χ(Т) = 2 — с. Иными словами, T гомеоморфна сфере с 6 скрещенными колпаками.
Похожая теорема классификации имеет место для поверхностей с краем. Любая поверхность с краем эквивалентна одной из этих стандартных поверхностей с одним или несколькими вырезанными дисками. Эйлерова характеристика, ориентируемость и число компонент края определяют поверхность однозначно. Единственной ориентируемой поверхностью с эйлеровой характеристикой 0 и двумя компонентами края является цилиндр, единственной неориентируемой поверхностью с эйлеровой характеристикой 0 и одной компонентой края — лента Мёбиуса и т. д. (см. табл. 17.1).
Таблица 7.1. Эйлерова характеристика, ориентируемость и число компонент края для различных поверхностей
Поверхность S
χ(S)
Ориентируемая
Компонент края
Сфера
2
Да
0
Тор
0
Да
0
Тор с двумя дырками
— 2
Да
0
Тор с
g дырками
2 — 2
g
Да
0
Диск
1
Да
1
Цилиндр/кольцо
0
Да
2
Бутылка Клейна
0
Нет
0
Проективная плоскость
1
Нет
0
Сфера с
c скрещенными колпаками
2–
c
Нет
0
Лента Мёбиуса
0
Нет
1
В некотором смысле первым, кто начал процесс классификации (в 1850-х годах), был Бернхард Риман (1826–1866). Риман — один из самых знаменитых математиков XIX столетия. Он получил степень доктора в Гёттингенском университете под руководством Гаусса в самом конце карьеры последнего. В то время Гёттинген не был центром математики в Германии (Гаусс читал там только вводные курсы), поэтому над диссертацией Риман работал в основном в Берлинском университете.
Рис. 17.8. Бернхард Риман
Его блестящие способности проявились очень рано. На Гаусса, который нечасто давал лестные характеристики, огромное впечатление произвела первая публичная лекция Римана, которую тот прочел в 1854 году. Вот как Фрейденталь описывал эту лекцию:
Одно из выдающихся событий в истории математики: юный робкий Риман читает престарелому легендарному Гауссу, который не переживет следующую весну, лекцию о следствиях идей, которые старик, должно быть, считал своими и которые втайне лелеял. В. Вебер вспоминает, как был ошеломлен Гаусс и с каким необычайным чувством он по пути домой хвалил глубину мыслей Римана153.
Большинство работ Римана относятся к комплексному анализу — изучению комплексных чисел и комплексных функций. Комплексное число имеет вид a + bi, где a и b — вещественные, а i = √–1. Именно стремление полностью понять природу комплексных функций лежало в основе большей части его работ — по теории функций, геометрии, дифференциальным уравнениям в частных производных и топологии. Некоторые работы были опубликованы посмертно, в т. ч. трактат по интегрированию, идеи которого теперь входят в любой вводный курс математического анализа. Печально, что жизнь этого оригинального мыслителя оборвалась из-за туберкулеза всего в сорок лет.
Поверхностями Риман заинтересовался в связи с комплексным анализом, а не с теорией многогранников. Поскольку комплексные числа имеют две степени свободы (a и b), множество комплексных чисел образует двумерную плоскость — она выглядит как евклидова плоскость, только одна ось вещественная, а другая мнимая.
Риман изучал многозначные комплексные функции. Например, рассмотрим функцию f(z) = ∜z. Чему равно значение f(16)? Это должно быть число w, обладающее тем свойством, что w4 = 16. Нетрудно видеть, что в комплексной области таких чисел четыре: 2, –2, 2i, –2i. Следовательно, одному входу соответствует четыре выхода. Интерпретировать это можно, сказав, что график функции имеет несколько уровней, или ветвей. Риман остроумно решил рассматривать такой граф как поверхность, которая теперь называется римановой поверхностью. У римановых поверхностей весьма интересная топология, но они всегда ориентируемые.
Именно отсюда берут начало исследования Римана по топологии. Он ввел понятие рода поверхности (и связанное с ним понятие связности, которое мы обсудим в главе 22). Он сгруппировал ориентируемые поверхности по роду и интуитивно понял, что две топологически эквивалентные поверхности должны иметь одинаковый род154. Несмотря на эту группировку похожих поверхностей, он не увидел обратного: что две поверхности одного рода топологически эквивалентны.
Первым, кто сформулировал и доказал теорему классификации для ориентируемых поверхностей, был Мёбиус. В распоряжении Мёбиуса был инструмент, которого не было у Римана. В 1863 году он развил идею элементарной связи (то, что мы теперь называем гомеоморфизмом). Поэтому он мог с некоторой точностью сказать, что такое «две поверхности одинаковы». Мёбиус показал, что любая ориентируемая поверхность топологически эквивалентна одной из нормальных форм, показанных на рис. 17.9: сфере, тору, двойному тору и т. д.155
Рис. 17.9. Нормальные формы ориентируемых поверхностей по Мёбиусу
В 1866 году Камиль Жордан доказал, что любые две ориентируемые поверхности с краем гомеоморфны тогда и только тогда, когда имеют одинаковый род и одинаковое число компонент края156. Первую полную формулировку и доказательство теоремы классификации, в т. ч. для неориентируемых
