поверхностей, дал Дик в 1888 году157. Однако это было еще до современных определений поверхности и гомеоморфизма. Первое по-настоящему строгое доказательство теоремы классификации дали Макс Ден (1878–1952) и Поул Хеегард (1871–1948) в 1907 году158.
Мы не будем доказывать теорему классификации, но есть целый ряд вполне доступных изложений. Некоторые сводятся к построению поверхности для получения сферы с ручками и скрещенными колпаками. Например, доказательство ZIP («zero irrelevancy proof») Джона Конвея начинается с кучи треугольников — рассыпанных кусочков пазла триангулированной поверхности. По мере того как каждый новый треугольник помещается на расширяющуюся поверхность, она остается сферой с ручками, скрещенными колпаками и краем159. Другие доказательства построены ровно наоборот — начав с поверхности, мы вырезаем из нее цилиндры и ленты Мёбиуса (т. е. ручки и скрещенные колпаки) и на каждом шаге заполняем дырки дисками, пока не получится сфера.
На первый взгляд может показаться, что род ориентируемой поверхности определить легко — ведь это же просто сфера с ручками. Но не всегда поверхность выглядит как одна из нормальных форм Мёбиуса. Например, первая поверхность на рис. 17.10 — пример сферы с 4 ручками, она гомеоморфна тору с 4 дырками.
Рис. 17.10. Необычные поверхности
Теорема классификации говорит, что любая поверхность гомеоморфна сфере с ручками или сфере со скрещенными колпаками. Но ничего не говорит о комбинации того и другого. Например, вторая картинка на рис. 17.10 — сфера с одной ручкой и одним скрещенным колпаком. Как ее классифицировать? Согласно приведенным выше вычислениям, эйлерова характеристика сферы равна 2, добавление ручки увеличивает ее на 2, а добавление скрещенного колпака уменьшает на 1. Поэтому эйлерова характеристика этой поверхности равна –1. Из-за наличия скрещенного колпака мы знаем, что поверхность неориентируемая. По теореме классификации, она гомеоморфна сфере с тремя скрещенными колпаками, которая называется поверхностью Дика160.
Беглый взгляд на третью поверхность на рис. 17.10 показывает, что она двусторонняя (ориентируемая) и содержит только одну компоненту края. Интересно, что сам край образует так называемый трилистный узел. В следующей главе мы увидим, что любой узел можно получить как край ориентируемой поверхности с одной компонентой края. Построив разбиение этой поверхности и посчитав вершины, ребра и грани, мы найдем, что ее эйлерова характеристика равна –1. По теореме классификации поверхностей с краем, эта поверхность гомеоморфна тору с вырезанным диском.
И напоследок вернемся к большому икосаэдру и большому додекаэдру — многогранникам Кеплера-Пуансо с треугольными и пятиугольными гранями (см. главу 15). Хотя с первого взгляда этого не скажешь, они являются ориентируемыми поверхностями (пересекающимися в трехмерном пространстве). Эйлерова характеристика большого икосаэдра равна 2, поэтому он гомеоморфен сфере, а большого додекаэдра –6, поэтому он гомеоморфен тору с 4 дырками.
Приложения к главе
149. Poincare (1895).
150. Mobius (1863).
151. Rado (1925).
152. Papakyriakopoulos (1943).
153. Quoted in Freudenthal (1975).
154. Riemann (1851); Riemann (1857).
155. Mobius (1863).
156. Jordan (1866a).
157. Dyck (1888).
158. Dehn and Heegaard (1907).
159. Francis and Weeks (1999).
160. Там же.
Глава 18
Узловатая проблема
О время, здесь нужна твоя рука
Мне не распутать этого клубка!
— Вильям Шекспир, «Двенадцатая ночь»161
Одним из самых ранних топологических исследований было изучение узлов. Все мы знакомы с узлами. Они привязывают лодку к берегу, не дают свалиться с ног ботинкам и безнадежно запутывают кабели и провода рядом с компьютерами. Но это, строго говоря, не математические узлы. У математического узла нет свободных концов; это топологическая окружность в трехмерном евклидовом пространстве. (Чтобы превратить электрический удлинитель в математический узел, просто воткните вилку на одном его конце в розетку на другом.)
На рис. 18.1 показаны проекции шести математических узлов: тривиальный узел, трилистник, восьмерка, печать Соломона, пряничный человечек (за неимением общепринятого названия) и квадратный узел.
Рис. 18.1. Тривиальный узел, трилистник, восьмерка, печать Соломона, пряничный человечек и квадратный узел
В предыдущей главе мы подчеркивали, что топологов обычно интересуют внутренние, а не внешние свойства топологических объектов. Теория узлов — примечательное исключение. Узел интересен тем, как окружность располагается в пространстве, — своей внешней конфигурацией. Внутренне все узлы идентичны — каждый гомеоморфен окружности. Поэтому при изучении узлов «одинаковый» не значит гомеоморфный. Два узла считаются одинаковыми, если один можно непрерывно деформировать в другой, т. е. если между ними существует изотопия. Первые три узла на рис. 18.2 изотопичны (все они эквивалентны тривиальному узлу). Изотопичны и последние два узла (оба эквивалентны трилистнику). Но, как мы увидим, тривиальный узел неизотопичен трилистнику.
Рис. 18.2. Три проекции тривиального узла и две проекции трилистника
Главная цель теории узлов — их классификация. Как и для поверхностей, мы хотели бы найти признаки, позволяющие сказать, одинаковы два узла или различны. В идеале желательно, как и для поверхностей, составить исчерпывающий и не содержащий повторов список всех узлов. На данный момент полного списка еще не существует, но в этом направлении многое сделано. Скромная цель этой главы — разработать средства, с помощью которых можно было бы доказать, что все узлы на рис. 18.1 различны. Одно из таких средств требует классификации поверхностей и эйлеровой характеристики.
Изучение и использование узлов столь же старо, сколь само человечество. Для любого мыслимого применения изобретено великое множество морских узлов, петель, сращиваний и арканов. Во многих культурах узлы и их проекции — постоянные темы ювелирных украшений и художественных работ. Они также были важны в производстве тканей, ибо что такое кусок ткани, как не гигантский узел? Математическое изучение узлов — гораздо более молодая дисциплина; первое математическое исследование датируется XVIII веком. Топологическая значимость узлов была впервые осознана Александром-Теофилем Вандермондом (1735–1796) в 1771 году, всего через тридцать лет после выхода статьи Эйлера о кёнигсбергских мостах. Короткая статья Вандермонда «Remarques sur les problemes de situation» (Замечания о проблемах положения) начинается словами:
Как бы ни была перекручена и запутана система нитей в пространстве, всегда можно получить выражение для вычисления ее размеров, однако на практике от этого выражения будет мало пользы. Ремесленника, плетущего кружево, сеть или еще какие-то узлы, интересуют не вопросы измерения, а вопросы положения; он видит то, каким способом нити переплетаются162.
Несмотря на многообещающее начало, занялся он не узлами, а топологическим подходом к так называемой «задаче о ходе коня» в шахматах. И все же дал краткое описание того, как можно символически описать некоторые текстильные узоры.
Из его
