электромагнитным полем (что бы это ни значило!). Вот почему важно, чтобы мы – как общество – понимали роль опыта: когда на него можно опираться, а когда – нет. Это относится к отдельным случаям, но не только к ним, а вообще ко всему, изложенному в этой книге, когда числа становятся сложнее и в них все проще ошибиться.
Мы не утверждаем, что отдельные наблюдения бесполезны. В жизни мы постоянно (и весьма успешно!) ими пользуемся: это очень неплохой ресторан, вам понравится этот фильм, его новый альбом – полный отстой. Но когда мы узнаем о них из прессы, крайне высока вероятность случайного совпадения, поэтому их польза весьма сомнительна.
В следующей главе мы поговорим о том, что происходит, когда числа становятся немного больше, и почему это немного лучше, но лишь немного.
Глава 3
Размеры выборки
Легче ли поднимать тяжести, когда бранишься? Несомненно, если судить по статье из газеты The Guardian. И в это нетрудно поверить: кто из нас не ругался на чем свет стоит, пытаясь поднять по лестнице икеевский шкаф, опрометчиво собранный не там, где надо. Возможно, это и помогало.
В той статье ссылались на исследование, проведенное в Кильском университете. В предыдущей главе мы говорили о том, как могут вводить в заблуждение новости, основанные на отдельных случаях. Лучше опираться на научные работы, не так ли?
Отчасти. Но не все научные исследования устроены одинаково.
Если вас не убеждает опыт одного человека, то опыт скольких людей убедит? Жесткого правила тут нет. Представим: вы хотите что-то узнать – например, рост британских мужчин. Вы – инопланетянин, британцев в глаза не видели и не имеете о них ни малейшего представления. Может, их рост – всего несколько микронов, а может – со звездное скопление. Откуда вам знать?
Если выстроить по росту всех британских мужчин до единого и измерить их, то вы увидите полную картину: очень высоких и очень низких людей мало и чаще встречаются люди среднего роста. Но чтобы узнать это, придется изрядно постараться, и даже размахивание гауссовым бластером не поможет. Вместо этого можно ограничиться выборкой.[5]
Выборка – это небольшая часть чего-то, отражающая, как вы надеетесь, часть целого. Бесплатная выпечка, выставленная у местной булочной, дает представление обо всем ассортименте; ознакомительный фрагмент электронной книги дает представление о книге в целом. Статистическая выборка делает то же самое.
И вот вы начинаете измерять рост случайных прохожих, создавая выборку населения. Если не повезет, то первым вам попадется человек ростом аж в 2 м 13 см. Это даст вам хоть какую-то информацию: гипотеза о том, что британские мужчины ростом со звездные скопления, становится гораздо менее правдоподобной. Но если вы сделаете вывод, у всех них рост 2 м 13 см, то сильно ошибетесь. (Еще одна иллюстрация того, что отдельные случаи не могут служить доказательством.)
Все это вы знаете, поэтому продолжаете измерять прохожих. Вы чертите простой график: каждый раз, когда вам встречается мужчина ростом 1 м 56 см, вы добавляете штрих в колонку «1 м 56 см»; если же рост прохожего составляет 1 м 85 см, вы добавляете штрих в колонку «1 м 85 см», и так далее.
Вы заметите, что по мере увеличения числа измерений график приобретает определенную форму. У вас окажется много отметок возле середины и меньше по краям. Получится что-то вроде арки старинного каменного моста. Самое большое число отметок окажется возле значения 1 м 78 см, почти столько же – около 1 м 73 см и 1 м 85 см, и совсем мало – по краям. Это будет кривая, напоминающая нормальное распределение – знаменитый «колокол», – с осью симметрии на значении роста среднего британского мужчины.[6]
Полностью колокол сформируется, когда вы измерите рост тысяч людей, а поначалу он будет неровным. Если не повезет и вам попадется несколько слишком высоких или слишком низких людей, то кривая выйдет искаженной. Но если вы измеряете рост действительно случайных прохожих, то в среднем чем больше людей вы измерите, тем ближе окажетесь к среднему значению всего населения. (Если ваша выборка не случайна, то возникнут другие проблемы – см. главу 4 «Смещенные выборки».)
Необходимо также учесть, насколько рост людей отклоняется от среднего. Предположим, что средний рост составляет 1 м 78 см. Если почти все люди такого роста и лишь некоторые – 1 м 83 см и 1 м 73 см, то ваш колокол окажется высоким и узким. Если же многие люди ростом 1 м 47 см а многие – 2 м 8 см и любое значение из этого промежутка тоже встречается часто, то колокол будет более широким и плоским. Такую вариативность данных описывает переменная, называемая дисперсией (см. график на следующей странице).
Если дисперсия невелика, то вероятность встретить значения, сильно отличающиеся от среднего, мала, и наоборот.
Эту врезку читать необязательно, но, если вы хотите узнать, как работают размер выборки и нормальное распределение, не пропускайте ее.
Роль выборки удобно демонстрировать на примере игры в кости. Она сводится к тому, что бросаются два кубика, а очки на них суммируются.
Таким образом можно получить 11 различных результатов – от 2 до 12. Но вероятности их выпадения разные.
Представим, что мы сначала бросаем одну кость, а потом – другую. Если на первой выпало 1, то, что бы ни было на второй, 12 в сумме не получить. А если выпало не 1, то в сумме не выйдет 2. Число X на первой кости ограничивает сумму значениями от X + 1 до X + 6.
При этом сумму 7 можно получить всегда, независимо от того, что выпало при первом броске. Если 6, то 7 выйдет, если на второй кости выпала единица. Если на первой выпало 2, а на второй 5, в сумме получится 7. И так далее, вплоть до 6 на первой кости и 1 на второй. Поэтому независимо от значения первой кости вы получите в сумме 7 с вероятностью 1/6.
Кости могут выпасть в общей сложности 36 комбинациями. В шести случаях сумма равна 7, так что вероятность получить 7 равняется 6/36, или 1/6. В пяти случаях сумма равна 8, и в пяти – 6. В четырех – 9 и в четырех – 5. И так далее. А вот 2 можно получить только одним способом, и 12 – тоже одним.
Это можно доказать математически, как мы только что сделали, но в этом можно убедиться и на практике, бросая кости. Бросив их 36 раз, вы вряд ли получите в точности шесть раз 7, пять – 6 и т. п. Но если сделать это миллион раз, то сумма 7 выпадет практически в точности в 1/6 части случаев, а 2 – один раз из 36.
