Вот и сейчас — мы уже прошли два круга, то есть каждый из ребят решил по две задачи на симметрию, пора бы уже кончать, но мальчики не унимаются, хотят еще. Мне кажется, что они уже устали. И я нахожу неожиданный выход: «Давайте вы будете задавать мне задачи, а я буду их решать». Дети в восторге! С новым пылом они строят фигурки, а я — им симметричные. Работаю старательно.
Ошибки как педагогический инструмент
Вдруг в голову приходит новая идея: я начинаю нарочно делать ошибки
Идея использования преднамеренных ошибок прочно вошла в теорию и практику развивающего образования (система Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова). Там такие ошибки получили название «ловушки».
Петя первый это замечает; счастью детей нет конца. К мальчикам как будто пришло второе дыхание. Теперь они с горящими глазами, не отрываясь, следят за моей рукой, встречая каждую новую ошибку воинственными дикарскими кличами.
Но пора все же закругляться. Я отодвигаю мозаику, благодарю всех и объявляю занятие оконченным. «А когда же фокусы будут?» — вдруг вспоминает Андрюша. «Ну как же, Андрюша! Ведь ты сам и показывал фокусы! Пуговиц было не видно, они были спрятаны у меня в кулаке, а ты сумел их сосчитать». Сумел, правда, не он, а Женя, но Андрюша, видимо, об этом забыл, потому что выглядит вполне удовлетворенным.
Очень интересное наблюдение, которое непременно нужно учитывать, занимаясь с дошкольниками и младшими школьниками: когда в группе малышей кто-нибудь справляется с задачей, которую решали все вместе, каждый ребенок ощущает себя решившим задачу!
Мы встаем. Я смотрю на часы: неужели прошло всего двадцать пять минут? Сейчас дети разойдутся, а я останусь приводить в порядок свои мысли, придумывать новые задачи, новые подходы, приемы. И еще — клеить, вырезать, раскрашивать. Одним словом, готовить то, что в педагогике зовется скучным сливом «дидактический материал». Ведь до следующего занятия — всего одна неделя.
Теория вероятностей для выращивания вундеркиндов?
Когда я решался выступить с этими заметками перед широкой аудиторией, я больше всего боялся, что кто-нибудь примет меня за очередного пророка, предлагающего еще один способ выращивания вундеркиндов. Некоторый повод для такого мнения дают темы наших математических занятий. Их «взрослые» названия звучат порой удручающе научно: теория вероятностей, программирование, топология, комбинаторика…
Я представлял себе читателя — восторженного и увлекающегося, воспитанного на лекциях типа «Неизведанные возможности нашей психики», — который станет говорить: «Вы представляете, у него малые дети изучают теорию вероятностей! Взрослые люди, с высшим образованием ничего в этом понять не могут, а малыши прекрасно разбираются!»
И другого — более здравомыслящего и скептического, который будет возражать: «Не понимаю, зачем забивать им голову такой ерундой! Пусть у ребенка будет нормальное детство».
Обидно было бы слышать такие диалоги, так как обе точки зрения основаны на чистейшем недоразумении.
Нет, конечно, мы не «изучаем» никаких формул и теорем математической теории вероятностей. Я не верю в существование детей, сколь угодно одаренных, которые были бы способны к такому изучению. А что же делать вместо этого?
Дошкольники у подножья высшей математики
В качестве первого шага надо задать себе такой вопрос: откуда возникла теория вероятностей? Где ее корни?
Ясно — как и многие другие науки, как даже сама арифметика, теория вероятностей возникла из наблюдений над определенными явлениями реального мира, а именно — над случайными, непредсказуемыми явлениями.
Следующий шаг — понять, что как раз вот такие наблюдения, предшествующие науке, вполне можно проводить вместе с детьми. Не все, конечно, — лишь самые простые. Да дети и сами, без нас, этим занимаются — например, тогда, когда играют в игры с участием игральной кости (кубика с написанными на нем очками от 1 до 6).
Нам остается только чуть-чуть выпятить, самую малость подчеркнуть вероятностную природу их наблюдений. Как? Есть много способов. Можно, например, вместо кубика предложить детям кособокий многогранник, чтобы они увидели, как игра становится «несправедливой»: одни цифры выпадают чаще, чем другие. Или можно придумать игру, в которой требуется считать сумму очков на двух костях. Здесь тоже дети рано или поздно заметят, что, скажем, сумма 7 выпадает гораздо чаще, чем сумма 2. В такого рода деятельности мы не ограничены ничем, кроме собственной фантазии и реальных возможностей реальных детей. Если дети поняли что-то, если какое-то зерно запало в разум — очень хорошо. Если нет — значит, мы просто играли.
Замечательный девиз для взрослого, предлагающего дошкольникам интеллектуальные игры: «Если дети что-нибудь усвоят, очень хорошо. Если ничего не поймут, — а я и не рассчитывал, что поймут! Мы просто играли».
(А играть вместе со взрослыми для малышей всегда особое удовольствие!)
Итак, сформулирую еще раз общее направление поиска: не наука сама по себе, как готовый продукт прошлых поколений, а те предварительные, предшествующие ей наблюдения, которые послужили толчком к ее появлению (Подчеркнуто мной.? ВЛ).
Блестящая идея! Она справедлива для любого учебного предмета: прежде чем переходить к систематическому изучению любой науки, целесообразно приобщить ребенка (особенно в дошкольном возрасте) к наблюдениям, которые в истории человечества предшествовали возникновению этой науки. Входя в науку не через освоение готовых знаний, а через собственные наблюдения, впечатления и размышления, ребенок сохраняет свое видение мира, а значит и способность к самостоятельным открытиям (а не только к использованию опыта предков).
Хочу рассмотреть один пример более подробно.
Увлекательная, если сначала пощупать руками
Всего лишь одна простая задачка — а как много она дает поводов для размышлений! Здесь и психология, и педагогика, и математика (и даже чуточку философия) сплелись в нерасторжимый узел. Вот сейчас увидите.
Задача эта относится к области комбинаторики. Когда-то такую науку проходили в школе, в девятом классе. Потом сочли очень трудной (вспомните хотя бы такое пугало, как бином Ньютона!) и из программы исключили. А все трудности старшеклассников состояли попросту в том, что им приходилось сразу начинать с формул, не пощупав ничего руками. В данном случае выражение «пощупать руками» надо понимать буквально. Ведь в комбинаторике речь идет о подсчете количества тех или иных комбинаций предметов. Только самих предметов-то нет — их надо вообразить, и комбинации тоже. Вот если бы начать с комбинирования реальных кубиков, фишек…
Мы рассаживаемся вокруг мозаики.
Любопытно, связан ли порядок в игрушках с порядком в мыслях?
Задание такое: надо построить «бусы» — цепочку из пяти фишек, в которой две фишки должны быть черными, а оставшиеся три — белыми. Это, разумеется, можно сделать разными способами. Так вот, наша задача как раз и состоит в том, чтобы перебрать все способы и при этом избежать повторений.
[Image14.gif (8772 bytes)]
Рис. 1.
По науке эти последовательности называются сочетаниями из пяти элементов по два: их количество обозначается С25 и равно { 5х(5?1)} 2 = 10. Ничего этого дети, конечно, не знают и на наших занятиях не узнают. Они просто строят бусы — по очереди, один за другим. Каждый результат проверяется всеми вместе — действительно ли он новый или совпадает с каким-нибудь из построенных ранее. Порой и спорим.
[Image15.gif (1360 bytes)]
Рис. 2.
Например, вот это (рисунок 2) — одно решение или два разных? В конце концов доходим до десяти решений.
Главный вопрос комбинаторики — сколько всего имеется решений. Но мальчики еще очень далеки от него. Они вообще пока не видят разницы между «это невозможно» и «у меня не получается», и выражают твердую уверенность в том, что уж я-то могу построить и одиннадцатое решение, и двенадцатое, и вообще сколько захочу. Приходится взяться за дело мне самому. Ребята перебирали свои решения как попало, без всякой системы. Зато я демонстрирую образец систематичности: перебираю решения в строго определенном порядке. Сначала ставлю одну черную фишку на первое место, а вторую — поочередно на второе, третье, четвертое, пятое места. Когда эта серия исчерпана, ставлю первую фишку на второе место, и т. д.
Вы думаете, это производит впечатление? Ни малейшего. Единственное, что они поняли, — это то, что у меня тоже ничего не вышло. Отличить одно решение от другого они уже могут, а вот отличить порядок от беспорядка им пока не по силам. Надо отложить эту задачу этак на полгодика. (А пока, может быть, приучать их складывать все игрушки на свои места. Любопытно, связан ли порядок в игрушках с порядком в мыслях?)
К чему ведет взрослая привычка подставлять свою точку зрения вместо ребячьей
