найти их числа пересечений очень просто. Они равны соответственно 3, 4, 5 и 6. Так что один этот инвариант позволяет сделать вывод, что все эти узлы различаются, в т. ч. печать Соломона и пряничный человечек.
Разумно спросить, как число пересечений соотносится с произведением узлов. Есть ли красивая формула, связывающая c(K), c(L) и c(K#L)? Если K и L альтернирующие, то K#L тоже альтернирующий. Более того, действуя аккуратно, мы сможем взять редуцированные альтернирующие проекции K и L и соединить их так, что результирующая проекция K#L тоже будет редуцированной альтернирующей (действовать нужно не так, как мы поступали для квадратного узла). Следовательно, в этом частном случае число пересечений аддитивно.
Если K и L — альтернирующие узлы, то c(K#L) = c(K) + c(L).
Например, с(квадратный узел) = с(трилистник) + с(трилистник) = 3 + 3 = 6.
Аддитивно ли число пересечений для всех узлов, как род? Гипотеза о том, что это равенство имеет место для всех узлов, довольно стара. Но, как ни странно, до сих пор никто не смог ни доказать ее, ни предъявить контрпример!
В этой главе мы познакомились с некоторыми из многочисленных важных инвариантов узлов. Располагая этими инструментами, мы смогли различить шесть узлов, приведенных в начале этой главы. Наши находки сведены в табл. 18.2.
Эти инструменты позволили нам довольно далеко продвинуться по пути классификации. Но лишь до определенного предела. Две проекции на рис. 18.15, пряничный человечек и так называемый узел 63, — разные узлы, но с помощью наших инвариантов различить их невозможно. Оба узла простые, с 6 пересечениями, альтернирующие, нераскрашиваемые, рода 2. Чтобы их различить, нужны дополнительные средства.
Таблица 18.2. Сводный перечень свойств узлов
Рис. 18.15. Одинаковы ли пряничный человечек и узел 63?
Кроме того, мы не представили никаких методов, позволяющих показать, что две проекции — на самом деле один и тот же узел. Мы посвятили эту главу демонстрации того, что проекции соответствуют разным узлам. Призываем читателя порыться в литературе и исследовать эту интересную область теории узлов.
Взаимообмен между математикой и наукой устроен неравноценно. Наивно думать, что они работают рука об руку. Ученые предлагают математикам задачи, а математики создают теории, которые, как они надеются, будут полезны ученым.
Потребности ученых часто подстегивают создание новых разделов математики, как вихревая модель атома Кельвина ускорила развитие теории узлов. Но математика не довольствуется ролью слуги науки. Даже когда математическая теория рождается из практического применения, она быстро начинает жить собственной жизнью и развивается, исходя из внутренней логики. Математики-теоретики — упрямые люди, которые в целом больше интересуются красотой, истинностью, элегантностью и величием, нежели практической применимостью.
Когда оказалось, что модель атома Кельвина неверна, ученые утратили интерес к узлам, но математики продолжили их изучение. Теория узлов зажила своей жизнью как область чистой математики. На протяжении большей части XX века ей интересовались только математики. Она и сейчас остается областью активных исследований с приложениями к другим разделам чистой математики, но не к науке.
Но даже самые абстрактные и теоретические разделы математики могут приносить пользу. Прикладная математика зачастую проистекает из совсем уж не прикладных разделов. Бывает — и не редко — что полезность теории не проявляется много лет. Никто не мог бы предсказать, что изучение простых чисел позволит шифровать информацию о кредитной карте, так что ее можно будет безопасно передавать через интернет. Математики XIX века не знали, что их работы по неевклидовой геометрии лягут в основу общей теории относительности Эйнштейна.
Ближе к концу века теория узлов снова нашла применение в естественных науках. Физики, биологи и химики обнаружили, что математическая теория узлов позволяет лучше понять их науку. Теперь она играет важную роль в таких разных предметах, как изучение ДНК и других больших молекул, линий магнитного поля, квантовой теории поля и статистической механики.
Математики работают на предприятии, которое изготавливает и продает инструменты. Иногда они принимают частные заказы от клиентов из мира науки, но большую часть времени проводят за изготовлением элегантных инструментов, для которых еще не появилось пользователей. Ученые заходят в лавку и шарят по полкам в надежде найти подходящий инструмент. В проход, посвященный теории узлов, ученые долго не заглядывали, зато теперь он кишит покупателями. В следующей главе мы увидим, как идеи топологии и эйлеровой характеристики создали еще один инструмент, который неожиданно оказался полезен ученым.
Приложения к главе
161. Shakespeare (2002), 82.
162. Vandermonde (1771).
163. Gauss (1877).
164. Listing (1847).
165. Seifert (1934).
166. Порядковый номер A002864 в Sloane (2007).
167. Crowell (1959).
168. Порядковый номер A002863 в Sloane (2007).
169. Kauffman (1987b); Murasugi (1987); Thistlethwaite (1987).
Глава 19
Как причесать ежа
Пусть грянет хаотичный шторм
и сотрясение платформ!
Я жажду форм.
— Роберт Фрост, «Pertinax»170
Многие ученые используют математику как средство для предсказания поведения. Ученый может располагать уравнением или системой уравнений, описывающих взаимодействие величин в модели. И пользуется математикой, чтобы вывести из этих уравнений какие-то заключения.
Часто математические модели выражаются с помощью дифференциальных уравнений. Они описывают скорости изменения различных величин со временем. Например, эколог может составить систему дифференциальных уравнений для моделирования популяционной динамики кроликов и лис в заповеднике, обусловленной отношениями между хищником и добычей. Когда кроликов много, лисы наслаждаются изобилием пищи. За счет этого их число растет, а число кроликов падает. В конечном итоге запас пищи у лис иссякает, поэтому их популяция уменьшается. И теперь наступает черед процветать кроликам. Такое циклическое поведение показано на рис. 19.1.
Рис. 19.1. Модель хищник-добыча
Дифференциальные уравнения записываются в виде алгебраического соотношения между переменными и их производными. Говоря о решении дифференциального уравнения, мы имеем в виду, что при заданных начальных условиях можно предсказать будущее поведение системы. Иными словами, если мы знаем, сколько кроликов и лис имеется сегодня, то сможем предсказать, сколько их будет через год. Кривая на рис. 19.1 — график решения. Стрелками показано положительное направление времени. Кривая построена в фазовом пространстве — топологическом объекте, представляющем все возможные значения переменных. В данном случае фазовым пространством является первый квадрант плоскости (поскольку число кроликов и лис должно быть неотрицательно). В более экзотических примерах фазовое пространство может иметь топологически более сложную форму.
Иногда ученому недостаточно найти конкретное решение дифференциального уравнения. Часто более важны качественные выводы. Обладает ли система равновесным
