Перед тем как увлечься обсуждением парадокса Зенона[11], давайте пока предположим, что между последовательными перекрытиями стрелок проходит чуть больше, чем 65 минут. Мы также знаем, что если умножить этот точный интервал на неизвестное целое число, должно получиться ровно двадцать четыре числа, так как каждые двадцать четыре часа часовая и минутная стрелки точно перекрываются на отметке 12. На самом деле это происходит каждые двенадцать часов – ведь путь, который стрелки проходят с полуночи до полудня, точно совпадает с путем, который они проходят с полудня до полуночи.
Давайте подробно проанализируем, что происходит за двенадцать часов с полуночи до полудня. За этот период стрелки не могут совпасть двенадцать раз – в этом случае интервал между совпадениями стрелок был бы 12/12 – или ровно один час, а мы знаем, что на самом деле он чуть больше, чем 65 минут. Следовательно, за этот период стрелки могут совпасть лишь 11 раз. Это значит, что продолжительность интервала между перекрытиями стрелок 12/11, или 65,45 минуты. Это и должен быть точный интервал, который мы не смогли вычислить чуть ранее. Умножив одиннадцать на два, мы получаем двадцать два перекрытия стрелок за двадцать четыре часа. Таким образом, двадцать два – это точный ответ, если только вы не захотите учитывать и совпадение стрелок в начале суток в полночь и в конце суток в следующую полночь – в этом случае ответом будет двадцать три.
? У Майка и Тодда есть 21 доллар на двоих. У Майка на 20 долларов больше, чем у Тодда. Сколько денег у каждого? В ответе нельзя использовать дроби.
Это вопрос с подвохом, в котором скрыт «вызов». Ответ на основной вопрос достаточно прост. У вас может возникнуть искушение ответить, что у Майка 21 доллар, а у Тодда – 1 доллар, но тогда получается сумма 22 доллара. Правильный ответ должен быть таким: у Майка 20,50 доллара, а у Тодда – 0,50 доллара. Если это для вас не очевидно – вы можете использовать алгебру, составить и решить уравнение. Вы также можете доказать, что это – единственный правильный ответ, но интервьюер настаивает, что в ответе нельзя использовать дроби.
Интервьюер не прав (или использует «техническую тонкость»: мол, целое количество центов – это не дроби). Ожидается, что вы будете отстаивать свою точку зрения и доказывать, что правильный ответ именно $20,50/$0,50. Такова жизнь в больших организациях.
? Сколько в среднем раз вам нужно открыть наугад телефонный справочник Манхэттена, чтобы найти нужный вам номер телефона?
«Открыть наугад» подразумевает, что вы случайно открываете двухстраничный разворот книги (вы не должны пытаться использовать знания о том, какой букве алфавита соответствует нужный вам номер телефона). Подразумевается также, что, если нужный вам номер есть где бы то ни было на двух случайно открытых вами страницах, вы его обязательно найдете.
Есть и простой ответ, и более изощренный.
Вот простой ответ. Допустим, в телефонном справочнике Манхэттена одна тысяча страниц (это достаточно точная оценка: в издании этого справочника 2001 года было 1138 страниц. Вы можете игнорировать тот факт, что в начале и конце телефонной книги есть страницы, на которых нет номеров телефонов). Это значит, что в телефонной книге 500 разворотов. Таким образом, вероятность, что книга откроется в нужном вам месте в первый и в любой последующий раз, – один из пятисот.
Этот быстрый ответ вполне приемлем, учитывая, что самый уязвимый пункт в ваших рассуждениях – это догадка о количестве страниц в телефонном справочнике.
А теперь ответ, удовлетворяющий людей из «математического лагеря». В реалистической ситуации вам, наверное, захотелось бы узнать, сколько раз вам нужно случайным образом раскрыть телефонную книгу, чтобы быть уверенным с заданной вероятностью, что хотя бы один раз она раскроется на нужной вам странице. Допустим, вы хотите быть уверенными, что в 90 процентах случаев отыщете нужный вам номер. Сколько раз для этого нужно раскрыть телефонный справочник?
Поскольку это случайная процедура, абсолютных гарантий нет. Вам может повезти, и тогда вы найдете нужный номер на первой же странице, и, наоборот, вы можете миллион раз перелистывать книгу и ни разу не открыть ее на нужной странице. Если вы хотите быть на 100 процентов уверенными, то ответ прост: сколько бы раз вы ни открывали случайным образом телефонную книгу, вы никогда не можете быть уверены на 100 процентов, что она хотя бы раз откроется на нужной странице.
В общем, вам придется снова и снова раскрывать справочник, пока он открывается на ненужных вам страницах. Поэтому мы можем анализировать вероятность того, что телефонная книга будет раз за разом раскрываться на ненужных страницах.
Допустим, вам известно, что в справочнике точно 1000 страниц и 500 разворотов. Вероятность того, что вы раскроете книгу на неправильной странице в каждой из попыток – 499 из 500, так как из 500 возможных разворотов книги только один подходящий. Тогда вероятность того, что в n последовательных попытках телефонная книга каждый раз будет раскрываться на неверных страницах – (499/500)n.
Очевидно, что вероятность того, что вы откроете книгу на нужной странице за n последовательных попыток или раньше, будет равна выражению: 1 – (499/500)n.
Эта формула позволяет вам вычислить, сколько раз вам нужно случайным образом раскрыть телефонную книгу, чтобы она с заданной вероятностью раскрылась на нужной вам странице. Если вы сделаете расчеты, например в Excel, то увидите, что для 50-процентной уверенности вам нужно раскрыть телефонный справочник 347 раз (или меньше, если вам повезет). Это число попытки и можно назвать «средним».
С другой стороны, этот ответ можно считать оптимистическим. Если вы сделаете 347 попыток – шансы на успех будут только 50 на 50. Первоначальная оценка, которая была получена при помощи простого метода, – 500 попыток дают вероятность успеха 63 процента. Для того чтобы достигнуть 90-процентной вероятности успеха, вам нужно случайным образом раскрыть книгу 1150 раз.
? Как можно разрезать прямоугольный торт на два равных куска, если кто-то уже вырезал из него прямоугольный кусок?..
Есть два правильных ответа, и лучше, если вы дадите их оба. Более простой ответ находят реже, чем сложный.
Можно очень легко разрезать прямоугольник пополам – вам нужно только позаботиться о том, чтобы разрез прошел через его центр, причем под любым углом.
В данном случае у нас два прямоугольника: «позитивный» (то, что пока осталось от торта) и «негативный» (недостающий кусок). Найдите центры обоих прямоугольников и проведите через них прямую линию – это и будет линия разреза. Вы получите два равных куска.
