Ясно, что концы векторов локальных максимумов a(X) и a(Y) для летописей X и Y принадлежат множеству S, рис. 5.7.
Рис. 5.7. Векторы локальных максимумов а(X) и a(Y) двух сравниваемых летописей X и Y можно условно изобразить двумя векторами в евклидовом пространстве.
Фиксируем теперь вектор a(X) = (x1,…, xn) и рассмотрим все векторы с = (c1,…, cn) с вещественными координатами, принадлежащие симплексу L и такие, что они удовлетворяют еще одному дополнительному соотношению:
(c1 - x1)2 + … + (cn - xn)2 ≤ (y1 - x1)2 + … + (yn - xn)2
Множество всех таких векторов с = (c1,…, cn) обозначим через К. Математически эти векторы описываются как удаленные от фиксированного вектора а(X) на расстояние, не превышающее расстояния r(X, Y) от вектора а(X) до вектора a(Y). Говоря здесь о расстоянии между векторами, мы имеем в виду расстояние между их концами. Напомним, что величина
(y1 - x1)2 + … + (yn - xn)2
равна квадрату расстояния r(X, Y) между векторами а(X) и a(Y).
Поэтому множество K — это часть симплекса L, попавшая в «n-мерный» шар радиуса r(X, Y) с центром в точке a(X).
Подсчитаем теперь, сколько «целочисленных векторов» содержится в множестве K и сколько — в множестве L. Полученные числа обозначим через m(К) и m(L) соответственно. В качестве «предварительного коэффициента» p'(X, Y) мы возьмем отношение этих двух чисел, то есть
p'(X, Y) = m(K)/m(L),
то есть
Так как множество К составляет лишь часть множества L, то число р'(X, Y) заключено на отрезке [0,1].
Если векторы a(X) и a(Y) совпадают, то р'(X, Y) = 0. Если векторы, напротив, далеки друг от друга, то число р'(X, Y) близко к единице и даже может оказаться равным единице.
Отметим здесь полезную, хотя и необязательную для дальнейшего, интерпретацию числа р'(X, Y). Предположим, что вектор с = (c1,…, cn) случайным образом пробегает все векторы из множества S, причем он с одинаковой вероятностью может оказаться в любой точке этого множества. В таком случае говорят, что случайный век тор с = (c1,…, cn) распределен РАВНОМЕРНО на множестве S, то есть на множестве «целых точек» (n-1) — мерного симплекса L. Тогда определенное нами число р'(X, Y) допускает вероятностную интерпретацию. Оно просто равно вероятности случайного события, заключающегося в том, что случайный вектор с = (c1,…, cn) оказался на расстоянии от фиксированного вектора а(X), не превышающем расстояния между векторами а(X) и a(Y). Чем меньше эта вероятность, тем менее случайна наблюдаемая нами близость векторов a(X) и a(Y). Другими словами, в этом случае их близость указывает на наличие какой-то зависимости между ними. И зависимость тем больше, чем меньше число р'(X, Y).
Равномерность распределения случайного вектора с = (c1,…, cn) на симплексе L, — точнее, на множестве S его «целых точек», — может быть обоснована тем, что этот вектор изображает расстояния между соседними локальными максимумами функции объема «глав» исторических летописей или каких-то аналогичных текстов, описывающих заданный период времени (А, В). При рассмотрении всевозможных летописей, говорящих об истории всевозможных государств во всевозможные исторические эпохи, естественно предполагать, что локальный максимум может «с равной вероятностью» появиться в произвольной точке временного интервала (А, В).
Описанное построение выполнено в предположении, что мы фиксировали некоторый вариант введения кратных максимумов у графиков объема летописей. Таких вариантов, конечно, много. Рассмотрим все такие варианты и для каждого из них подсчитаем свое число р'(X, Y), после чего возьмем наименьшее из всех получившихся чисел. Обозначим его через р''(X, Y). То есть, мы минимизируем коэффициент р'(X, Y) по всем возможным способам введения локальных максимумов у графиков vol X(t) и vol Y(t).
Наконец, вспомним, что при подсчете коэффициента р''(X, Y) летописи X и Y оказались в неравноправном положении. Дело в том, что выше мы рассматривали «n-мерный шар» радиуса r(X, Y) с центром в точке а(X). Чтобы устранить возникшее неравноправие между летописями X и Y, просто поменяем их местами и повторим описанную конструкцию, взяв теперь за центр «n-мерного шара» точку a(Y). В результате получится некоторое число, которое мы обозначим через p''(Y, X). В качестве окончательного «симметричного коэффициента» р(Х, Y) возьмем среднее арифметическое чисел p''(X, Y) и p''(Y, X), то есть
Для наглядности поясним смысл предварительного коэффициента р'(Х, Y) на примере графиков объема с всего лишь двумя локальными максимумами. В этом случае оба вектора
a(X) = (х1, х2, х3) и a(Y) = (у1, у2, у3)
являются векторами в трехмерном евклидовом пространстве.
Их концы лежат на двумерном равностороннем треугольнике L, отсекающем от координатных осей в пространстве R3 одно и то же число B-А. См. рис. 5.8. Если расстояние от точки а(X) до точки a(Y) обозначить через |а(X)-a(Y)|, то множество К — это пересечение треугольника L с трехмерным шаром, центр которого находится в точке а(X), а радиус равен |а(X)-a(Y)|. После этого нужно подсчитать количество «целых точек», то есть точек с целочисленными координатами, в множестве К и в треугольнике L. Взяв отношение получившихся чисел, мы и получим коэффициент p'(X, Y).
Рис. 5.8. Векторы а(X) и a(Y) определяют «шар», часть которого попадает в симплекс L.
При конкретных вычислениях удобно пользоваться приближенным способом вычисления коэффициента p(X, Y). Дело в том, что подсчет числа целых точек в множестве K довольно затруднителен. Но, оказывается, эту трудность можно обойти, перейдя от дискретной модели к непрерывной. Хорошо известно, что если (n-1)-мерное множество K в (n-1)-мерном симплексе L достаточно велико, то число целых точек в K примерно равно (n-1)-мерному объему множества K. Поэтому с самого начала в качестве предварительного коэффициента p'(X, Y) можно брать просто отношение (n-1)-мерного объема K к (n-1)-мерному объему L, то есть
Например, в случае двух локальных максимумов в качестве коэффициента p'(X, Y) следует взять отношение:
Конечно, при малых значениях В-А, «дискретный коэффициент» и «непрерывный коэффициент» различны. Но в наших исследованиях мы будем иметь дело с временными интервалами В-А в несколько десятков и даже сотен лет, так что для интересующих нас целей можно, не делая большой ошибки, уверенно пользоваться непрерывной моделью р'(X, Y). Точные математические формулы для подсчета «непрерывного коэффициента» p'(X, Y), для его оценки сверху и снизу, приведены в работе [884], с. 107.
Укажем еще одно уточнение описанной статистической модели. При работе с конкретными графиками объема исторических текстов следует сглаживать графики, чтобы устранить мелкие случайные всплески. Мы проводили такое сглаживание, «усредняя по соседям», то есть, заменяя значение функции объема в каждой точке t на среднее арифметическое трех значений функции, а именно, в точках t-1, t, t+1. В качестве «окончательного коэффициента» p(X, Y) следует взять его значение, подсчитанное для таких сглаженных графиков.
Сформулированный выше принцип корреляции максимумов подтвердится, если для большинства пар заведомо зависимых текстов X и Y коэффициент p(X, Y) окажется «малым», а для большинства пар заведомо независимых текстов, напротив, — «большим».
1.4. Экспериментальная проверка принципа корреляции максимумов
Примеры зависимых и независимых исторических текстов
В 1978–1985 годах автором был проведен первый обширный вычислительный эксперимент по подсчету чисел p(X, Y) для нескольких десятков пар конкретных исторических текстов-хроник, летописей и т. п. Детали см. в [904], [908], [1137], [884].
Оказалось, что коэффициент p(X, Y) достаточно хорошо различает заведомо зависимые и заведомо независимые пары исторических текстов. Обнаружилось, что для всех исследованных нами пар реальных летописей X, Y, описывающих заведомо разные события (разные исторические эпохи или разные государства), — то есть для независимых текстов, — число p(X, Y) колеблется от 1 до 1/100 при количестве локальных максимумов от 10 до 15. Напротив, если исторические летописи X и Y заведомо зависимы, то есть описывают одни и те же события, то число p(X, Y) не превосходит 108 для того же количества максимумов.
Таким образом, между значениями коэффициента для зависимых и независимых текстов обнаруживается разрыв на несколько порядков. Подчеркнем, что здесь важны не абсолютные величины получающихся коэффициентов, а тот факт, что «зона коэффициентов для заведомо зависимых текстов» отделена несколькими порядками от «зоны коэффициентов для заведомо независимых текстов». Приведем типичные примеры. Точные значения функций объемов для особо интересных летописей мы приводим в Приложении 2 в конце книги.
