без особых философских амбиций, а скорее из дидактических потребностей сконструированных) примеров можно предложить к рассмотрению множество, состоящее из солнца, разума и апельсина (И.И. Жегалкин). Заметим, сколь далекие по природе элементы объединены в данное множество, и заодно подчеркнем разницу между понятиями
суммы и
множества (напомним, что эта пара фигурирует в имяславских тезисах Лосева как раз под разделом «феноменологии имяславия»). Суммирование предполагает однородность слагаемых и заданность результата лишь в потенции, лишь алгоритмически, тогда как в множество можно объединить произвольные объекты, причем оно дается финально, устанавливается актом онтологического полагания. Из других примеров достаточно экзотических теоретико-множественных полаганий укажем еще «множество всех множеств» (каковое сыграло известную драматическую роль в жизни и творчестве Кантора) и, по почти очевидной ассоциации, «то, более чего нельзя ничего помыслить» (конструкция Ансельма Кентерберийского, знаменитого логициста-теолога XI века) 15.
Довольно пристально всмотревшись – воображаемым взглядом с позиций имяславия, – в основное понятие теории множеств, перейдем теперь к другим понятиям из лосевского перечня. Немалый интерес, прежде всего, составляют эксплицированные канторовской теорией представления об элементе и части, точнее, представления об отношениях элемента и множества, а также части и целого.
Начнем с отношений элемент – множество, хотя и о паре часть – целое забыть, пусть даже временно, не придется. На то есть причины, коренящиеся в истории (уже не отменимой) теории множеств. Как уже было сказано, в исходном понимании множества по Кантору заложена некая антиномическая слитость; однако на практике эта слитость была подорвана. Именно, понятие множества стало употребляться в собирательном смысле (как «единство»), когда речь заходила о части и целом или подмножестве и множестве, оно же стало употребляться в разделительном смысле (как собственно «множество»), когда речь заходила об элементах множества, точнее, о вопросе принадлежности их к множеству 16. В этом разрыве есть вина либо, на чей-то вкус, заслуга самого Кантора, любившего, с одной стороны, подчеркивать «организменность» объектов своей теории, т.е. подчиненность элементов интегральному целому, но, с другой стороны, требовавшего от всякого элемента множества, чтобы тот был «хорошо определен» или «хорошо различим». Можно сказать и о недостаточной готовности математиков, с Кантора же и начиная, к тяготам нелегкого (но и необходимого, во всяком случае в теории множеств) обращения с антиномиями… Но здесь пришлось бы уходить далеко в глубины (дебри) оснований математики, чего нельзя делать теперь еще и без учета громадной критической работы, проделанной в свое время Лосевым 17. Поэтому нам остается просто констатировать, что в теории множеств существует два конкурирующих полюса, к которым тяготеют те или иные конструкты теории, – полюс «первичности элемента» и полюс «первичности целого». Существует один из таких конструктов, который как бы застыл посредине между названными полюсами и своим существованием наглядно демонстрирует теоретико-множественную специфику. Это – одноэлементное множество, т.е. такое множество M = {m}, которое состоит точно из одного элемента m и рассматривается как сущность, неравная этому элементу, иными словами, здесь ложно утверждение {m} = m. Так встретились две различные реальности, реальность элемента и реальность множества, причем их принципиальная разница нисколько не утрачивается от того, что элемент и одноэлементное множество часто могут носить одно и то же наименование. Как видим, в теории множеств (и это она – наивная?!) заложены возможности для тончайших различений, казалось бы, чрезвычайно близких объектов, но на самом деле объектов разной «породы». Здесь невольно напрашиваются параллели к имяславской формуле, утверждающей нечто важное об одном уникальном «одноэлементном множестве»: «Имя Божие есть Бог, но Сам Бог не есть Имя Божие».
И укажем еще одну параллель, ненадолго покинув область «наивной» теории множеств. К этому подталкивает присутствие связки «есть» в только что приведенной формуле. Данная связка занимает ключевое место в интересной логической системе польского математика Станислава Лесьневского, – она нередко упоминается (но что хорошо известна, не скажешь) под названием мереологии. В рамках мереологии связка «есть» фактически заменяет понятие принадлежности элемента множеству, а сами множества понимаются не в разделительном, а в собирательном смысле. Кроме того, тут вводится жесткое ограничение на содержание утверждений со связкой (она употребляется только для непустых единичных имен объектов) и при этом условии специально рассматриваются отношения целого и части. В итоге же мереология, по мнению ряда исследователей, выступает не как улучшенный вариант теории множеств, но как ее мощный конкурент 18. Судя по всему, эта до сих пор мало изученная и чрезвычайно утонченная математическая теория представляет большую перспективу для новых философских прочтений, причем не в последнюю очередь – прочтений феноменологических и в особенности прочтений с точки зрения имяславия. Но поскольку московские имяславцы 20-х годов не были знакомы с изысканиями Лесьневского, мы можем коснуться этой темы разве что в порядке резервирования на будущее.
Впрочем, при упоминании мереологии вновь фигурировали отношения части и целого; к более подробному рассмотрению этих отношений и пришла пора перейти. Сразу отметим, что и в этом пункте нас ожидает вполне нетривиальный результат. Если, как выяснилось, к отношениям элемента и множества теория Кантора дает весьма тонкий аппарат для (выразимся кратко) «различений близкого», то в теоретико-множественных отношениях целого и части выявляется не менее интересная возможность «сближений далекого». При этом и в первом, и во втором случае обыденная интуиция если и не вовсе пасует, то оказывается по меньшей мере малополезной. Действительно, если говорить о части и целом, то привычки обычной языковой практики готовы засвидетельствовать здесь только одно: часть есть ущерб целого и, лишь разрастаясь до крайних размеров (т.е. переставая быть именно собой, частью), она становится тождественной целому, совпадает с ним. Заслуга Кантора состояла в строгом доказательстве возможности совсем иного отношения части и целого, справедливого для особого класса множеств. Именно для бесконечных множеств всегда (подчеркнем – всегда) справедливо то, что для конечной области возможно лишь в вырожденном случае, – эквивалентность бесконечного множества (целого) своему бесконечному подмножеству (части). Если воспользоваться известным крылатым выражением, то фундаментальная особенность области бесконечного можно выразить так: «лев» здесь не только «узнается по когтям», но «когтями» же и полностью представлен. Процедура установления эквивалентности множеств, которую нашел Кантор, оказалась настолько простой и убедительной (это, напомним, попарное сочетание элементов сравниваемых множеств и демонстрация того, что ни в одном множестве не остается непарных элементов), что она фактически стала конструктивным методом распознавания бесконечных множеств. Для выяснения того, каким является данное множество, конечным или бесконечным, необходимо и достаточно проверить отношение его как целого к собственной части: неэквивалентность целого и части сигнализирует о конечности, эквивалентность – о бесконечности множеств.
Все эти специфические и, может быть, скучные
