f(Y1, Y2,…,Yn) < f(Z1, Z2,…,Zn). (1)
Согласно РТИ для устойчивости результата сравнения средних необходимо, чтобы для любого допустимого преобразования g из группы допустимых преобразований в соответствующей шкале было справедливо также неравенство
f(g(Y1), g(Y2),…, g(Yn)) < f (g(Z1), g(Z2),…, g(Zn)), (2)
т. е. среднее преобразованных значений из первой совокупности также было меньше среднего преобразованных значений для второй совокупности. Причем сформулированное условие должно быть верно для любых двух совокупностей Y1, Y2,…,Yn и Z1, Z2,…,Zn и, напомним, любого допустимого преобразования g . Согласно РТИ только такими средними можно пользоваться при анализе мнений экспертов и иных данных, измеренных в рассматриваемой шкале.
С помощью математической теории, развитой А.И.Орловым в 1970–х годах, удается описать вид допустимых средних в основных шкалах. В шкале наименований в качестве среднего годится только мода. Из всех средних по Коши в порядковой шкале в качестве средних можно использовать только члены вариационного ряда (порядковые статистики), в частности, медиану (при нечетном объеме выборки. При четном же объеме следует применять один из двух центральных членов вариационного ряда – как их иногда называют, левую медиану или правую медиану), но не среднее арифметическое, среднее геометрическое и т. д. В шкале интервалов из всех средних по Колмогорову можно применять только среднее арифметическое. В шкале отношений из всех средних по Колмогорову устойчивыми относительно сравнения являются только степенные средние и среднее геометрическое.
Приведем численный пример, показывающий некорректность использования среднего арифметического f(X1, X2) = (X1+X2)/2 в порядковой шкале. Пусть Y1= 1, Y2 = 11, Z1 = 6, Z2 = 8. Тогда f(Y1, Y2) = 6 , что меньше, чем f(Z1, Z2) = 7 . Пусть строго возрастающее преобразование g таково, что g(1) = 1, g(6) = 6, g(8) = 8, g(11) = 99. Таких преобразований много. Например, можно положить g (x) = x при x , не превосходящих 8, и g (x) = 99(x –8)/3 + 8 для х , больших 8. Тогда f(g(Y1), g(Y2)) = 50 , что больше, чем f(g(Z1), g(Z2)) = 7 . Как видим, в результате допустимого, т. е. строго возрастающего преобразования шкалы упорядоченность средних изменилась.
Приведенные результаты о средних величинах широко применяются, причем не только в теории экспертных оценок или социологии, но и, например, для анализа методов агрегирования датчиков в АСУ ТП доменных печей. Велико прикладное значение РТИ в задачах стандартизации и управления качеством, в частности, в квалиметрии. Здесь есть и интересные теоретические результаты. Так, например, любое изменение коэффициентов весомости единичных показателей качества продукции приводит к изменению упорядочения изделий по средневзвешенному показателю (эта теорема доказана проф. В.В. Подиновским).
Методы средних баллов. В настоящее время распространены экспертные, маркетинговые, квалиметрические, социологические и иные опросы, в которых опрашиваемых просят выставить баллы объектам, изделиям, технологическим процессам, предприятиям, проектам, заявкам на выполнение научно—исследовательских работ, идеям, проблемам, программам, политикам и т. п., а затем рассчитывают средние баллы и рассматривают их как интегральные оценки, выставленные коллективом опрошенных. Какими формулами пользоваться для вычисления средних величин? Ведь средних величин, как мы знаем, очень много разных видов. Обычно применяют среднее арифметическое. Уже более 30 лет известно, что такой способ некорректен , поскольку баллы обычно измерены в порядковой шкале (см. выше). Обоснованным является использование медиан в качестве средних баллов. Однако полностью игнорировать средние арифметические нецелесообразно из—за их привычности и распространенности . Поэтому целесообразно использовать одновременно оба метода – и метод средних арифметических рангов (баллов), и методов медианных рангов . Такая рекомендация находится в согласии с концепцией устойчивости, рекомендующей использовать различные методы для обработки одних и тех же данных с целью выделить выводы, получаемые одновременно при всех методах. Такие выводы, видимо, соответствуют реальной действительности, в то время как заключения, меняющиеся от метода к методу, зависят от субъективизма исследователя, выбирающего метод обработки исходных экспертных оценок.
Пример сравнения восьми проектов. Рассмотрим конкретный пример применения только что сформулированного подхода. По заданию руководства фирмы анализировались восемь проектов, предлагаемых для включения в план стратегического развития фирмы. Они были обозначены следующим образом: Д, Л, М—К, Б, Г—Б, Сол, Стеф, К (по фамилиям менеджеров, предложивших их для рассмотрения). Все проекты были направлены 12 экспертам, назначенным Правлением фирмы. В приведенной ниже табл.1 приведены ранги восьми проектов, присвоенные им каждым из 12 экспертов в соответствии с представлением экспертов о целесообразности включения проекта в стратегический план фирмы. При этом эксперт присваивает ранг 1 самому лучшему проекту, который обязательно надо реализовать. Ранг 2 получает от эксперта второй по привлекательности проект,…, наконец, ранг 8 – наиболее сомнительный проект, который реализовывать стоит лишь в последнюю очередь). Анализируя результаты работы экспертов (т. е. табл.1), члены Правления фирмы были вынуждены констатировать, что полного согласия между экспертами нет, а потому данные, приведенные в табл.1, следует подвергнуть более тщательному математическому анализу. Эксперт № 4 считает, что проекты М—К и Б равноценны, но уступают лишь одному проекту – проекту Сол. Поэтому проекты М—К и Б должны были бы стоять на втором и третьем местах и получить баллы 2 и 3. Поскольку они равноценны, то получают средний балл (2+3)/ 2 = 5/ 2 = 2,5.
Примечание.
Метод средних арифметических рангов. Сначала был применен метод средних арифметических рангов. Для этого прежде всего была подсчитана сумма рангов, присвоенных проектам (см. табл.1). Затем эта сумма была разделена на число экспертов, в результате рассчитан средний арифметический ранг (именно эта операция дала название методу). По средним рангам строится итоговая ранжировка (в другой терминологии – упорядочение), исходя из принципа – чем меньше средний ранг, чем лучше проект.
Наименьший средний ранг, равный 2,625, у проекта Б, – следовательно, в итоговой ранжировке он получает ранг 1. Следующая по величине сумма, равная 3,125, у проекта М—К, – и он получает итоговый ранг 2. Проекты Л и Сол имеют одинаковые суммы (равные 3,25), значит, с точки зрения экспертов они равноценны (при рассматриваемом способе сведения вместе мнений экспертов), а потому они должны бы стоять на 3 и 4 местах и получают средний балл (3+4) /2 = 3,5. Дальнейшие результаты приведены в табл.2 ниже. Итак, ранжировка по суммам рангов (или, что то же самое, по средним арифметическим рангам) имеет вид:
Б < М—К < {Л, Сол} < Д < Стеф < Г—Б < К. (3)
Здесь запись типа «А<Б» означает, что проект А предшествует проекту Б (т. е. проект А лучше проекта Б). Поскольку проекты Л и Сол получили одинаковую сумму баллов, то по рассматриваемому методу они эквивалентны, а потому объединены в группу (в фигурных скобках). В терминологии математической статистики ранжировка (3) имеет одну связь.
Метод медиан рангов. Значит, итог расчетов – ранжировка (3), и на ее основе предстоит принимать решение? Но тут наиболее знакомый с современной эконометрикой член Правления вспомнил, что ответы экспертов измерены в порядковой шкале, а потому для них неправомерно проводить усреднение методом средних арифметических. Надо использовать метод медиан. Что это значит? Надо взять ответы экспертов, соответствующие одному из проектов, например, проекту Д. Это ранги 5, 5, 1, 6, 8, 5, 6, 5, 6, 5, 7, 1. Затем их надо расположить в порядке неубывания (проще было бы сказать – «в порядке возрастания», но поскольку некоторые ответы совпадают, то приходится использовать непривычный термин «неубывание»). Получим последовательность: 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8. На центральных местах – шестом и седьмом – стоят 5 и 5. Следовательно, медиана равна 5.
Медианы совокупностей из 12 рангов, соответствующих определенным проектам, приведены в предпоследней строке табл.2 (при этом медианы вычислены по обычным правилам статистики – как среднее арифметическое центральных членов вариационного ряда). Итоговое упорядочение по методу медиан приведено в последней строке таблицы. Ранжировка (т. е. упорядочение – итоговое мнение комиссии экспертов) по медианам имеет вид:
Б < {М-К, Л} < Сол < Д < Стеф < К <Г-Б . (4)
Поскольку проекты Л и М-К имеют одинаковые медианы баллов, то по рассматриваемому методу ранжирования они эквивалентны, а потому объединены в группу (кластер), т. е. с точки зрения математической статистики ранжировка (4) имеет одну связь.
