Глава 2
Математики-художники и художники-математики
Школы абака
В XII веке в Европе начали создаваться университеты, которые были предназначены для узкого круга культурной элиты. Для обучения ремесленников, мастерство которых непрерывно росло, и работников торговли, переживавшей период расцвета, в последние годы Средних веков также появились так называемые школы абака, которые можно считать первыми учреждениями профессионального образования. Учащиеся школ абака получали необходимые знания для того, чтобы заниматься торговлей и ремеслами.
В последние годы Средневековья особое внимание стало уделяться знаниям и способам их передачи, произошел возврат к древнегреческой культуре и науке, созданной в золотой век человеческой цивилизации. Ученые того времени стремились всеми силами обновить математику. Они говорили о ее «восстановлении» и «реставрации». Их целью, к которой они упорно двигались, было возрождение математики, позднее ставшее первой приметой возрождения науки, которое пришлось на вторую половину XV века. Этот этап стал переходным от ограниченной средневековой математики, обогатившейся с возвратом к древнегреческому наследию и благодаря вкладу арабских ученых, к новой, современной науке, первым представителем которой стал Галилей в XVII веке.
Любопытно, что труды древних греков попали в Европу по суше — благодаря переводу книг арабских ученых, выполненных в Толедской школе переводчиков, и по морю — благодаря торговле морских республик Италии с народами Северной Африки.
Бурный экономический рост Венеции, Амальфи, Пизы и Генуи, вызванный обширной морской торговлей и крестовыми походами, превратил Италию в естественный мост между Северной Африкой и Ближним Востоком с одной стороны и севером Европы с другой. Итальянские торговцы стали посредниками между восточными купцами, поставлявшими ценные товары — шелк, специи и драгоценные камни, — и купцами севера, которые преимущественно торговали шерстью и тканями тонкой работы. Развитие итальянской торговли привело к созданию новых финансовых инструментов, в частности векселей, и к зарождению первых банковских институтов. Отдельные коммерсанты становились главами крупных торговых компаний, и им требовались работники, умеющие читать, писать и способные быстро и точно производить вычисления.
В XV веке Европа восстанавливалась от эпидемии чумы, получившей название «черная смерть», пришедшей из Китая и опустошившей континент в 1348–1350 годах. Эпидемия быстро распространилась по всему миру, уничтожив десять процентов населения Земли. Боккаччо в предисловии к «Декамерону» указывает, что во Флоренции от чумы погибло более ста тысяч человек. Эпидемия имела парадоксальные последствия: условия жизни выживших улучшились, так как заработки выросли, а цены на продовольствие снизились, чего до 1348 года не случалось.
На ход европейской истории оказали влияние три важных события, произошедших в XV веке, имевших особое значение для западной культуры. Этими событиями были (в хронологическом порядке) изобретение книгопечатания примерно в 1447 году, падение Константинополя в 1453 году и открытие Америки Христофором Колумбом в 1492 году.
Trattato d'arismetricha (ок. 1460) Бенедетто да Фиренце, один из важнейших трудов по вычислениям с помощью абака.
В этом же веке произошло слияние искусства и математики, которое выразилось в постановке новых задач и в смене самого образа мысли. Это слияние стало одной из характерных черт Возрождения. Такие художники, как Пьеро делла Франческа и Альбрехт Дюрер, в своих картинах и книгах демонстрировали интерес к математике и впоследствии опубликовали трактаты по этой дисциплине.
Появление книгопечатания подвижными литерами, изобретенного Гутенбергом, произвело революцию в распространении продуктов культуры. С 1447 года, когда в Европе была отпечатана первая книга, и до конца столетия свет увидело более 6000 книг — так называемых инкунабул. Лишь немногие из них были посвящены математике и другим наукам. Большинство немногочисленных книг по математике представляли собой переводы трудов арабских ученых на латынь, так как арабские трактаты по арифметике и алгебре использовались ремесленниками в новых экономических условиях и были проще, чем работы классических греческих авторов. Эти немногие труды, которые сохранялись на протяжении веков усилиями переписчиков, подготовили почву для развития математики в Европе. Лишь в начале XVI века начал расти интерес к переводам классических трактатов по математике и было издано множество подобных работ.
Развитие гуманизма и увлеченность древнегреческой наукой и искусством привели к тому, что центр внимания постепенно сместился от арабской математики к древнегреческой. Геометрия постепенно начала восстанавливать свое основное место в математике. Средневековые и гуманистические представления о науке сосуществовали в течение длительного времени. Результатом этого сосуществования стало развитие алгебры в Италии XVI века.
Школы абака возникли на севере Италии в XIII веке и работали вплоть до XVI столетия. Глядя на их название, возможно, произошедшее от названия первой книги, написанной для подобных школ, «Книги абака» Фибоначчи, можно подумать, что в них изучались способы вычислений с помощью этого устройства для счета. Однако это совершенно не так. В этих школах учили производить вычисления без помощи абака. Тому служили индоарабские цифры и арабские алгоритмы вычислений, а все расчеты производились с помощью пера и бумаги, напоминавших современные. В школах абака также изучалось применение этих вычислений в торговле. Как следствие, в этом контексте слово «абак» понималось как синоним слов «вычисление» и «арифметическое действие». Название «Книги абака» Фибоначчи следует понимать как «Книга вычислений».
* * *
ТИПОГРАФИКА В МАТЕМАТИКЕ
С изобретением книгопечатания подвижными литерами возникла необходимость в новой типографике. Некоторые шрифты, в частности разработанные Клодом Гарамоном (1490–1561), благодаря своей красоте и элегантности сохранились до наших дней.
Создание хорошего шрифта требовало знаний эстетики, пропорций и геометрии. Поэтому неудивительно, что разработкой шрифтов для обозначения математических символов занимались и художники, и математики.
Приведем в качестве примера два варианта написания буквы М, первой буквы слова «математика», созданные в период перехода от кватроченто к чинквеченто. Первый вариант предложил математик Лука Пачоли, второй — художник Альбрехт Дюрер.
Буква «М» Луки Пачоли, созданная в 1509 году.
Буква «М» Альбрехта Дюрера, созданная в 1525 году.
* * *
«Книга абака» послужила основой для множества руководств и учебников по арифметике, написанных в популярном стиле. Это были так называемые трактаты абака, издававшиеся в течение всего XIV века вплоть до начала XVI столетия.
Эти книги предназначались для преподавателей школ абака. Для них была характерна практическая направленность, так как задачи в них объединялись в классы и приводились методы их решения без изучения общих теорий. Они были написаны на тосканском языке, что упрощало чтение. Сохранилось около 300 подобных текстов, как рукописных, так и печатных, написанных в XIV–XVI веках. Некоторые из них за свою обширность могут считаться настоящими справочными руководствами.
Хотя основной задачей школ абака было обучение будущих работников торговли, в них также учились ремесленники, архитекторы, художники, картографы — все, кому требовалось базовое математическое образование. Дети начинали обучение в возрасте восьми лет. В течение некоторого времени они посещали школу, где учились читать и писать. Двумя годами позже они переходили в школу абака. Обучение там также длилось два года. Эти школы иногда назывались botteghe d’abaco — «мастерские абака», что подчеркивало их схожесть с мастерскими ремесленников, где обучались подмастерья. Ученики в некотором роде были похожи на подмастерьев и называли преподавателей «мастер» — точно так же подмастерья называли своих хозяев. Позднее те, кто хотел заниматься торговлей или ремеслами, нанимались в качестве подмастерьев в торговые дома и мастерские.
Изучение учебников, которые использовались в школах абака, показывает, что хорошему мастеру абака требовалось достаточно широкое образование: помимо практической и торговой арифметики он должен был знать теорию арифметики, теорию чисел, алгебру, теоретическую и практическую геометрию.
