Занятия, которые вели мастера абака, можно разделить на три уровня. На начальном уровне ученики изучали, как читать и записывать числа в индоарабской системе счисления, способы счета на пальцах, алгоритмы вычислений, действия с дробями, правило пропорции, денежные системы, системы мер и весов, а также некоторые понятия практической геометрии. На этом уровне обучались ремесленники и работники художественных мастерских. На втором уровне изучалась арифметика в торговле и бухгалтерия. Ученики, прошедшие обучение на этом уровне, обладали необходимыми знаниями для работы в крупных торговых компаниях. Третий уровень предназначался для тех, кто увлекался математикой и хотел со временем стать мастером абака. На этом уровне изучалось решение уравнений и некоторых задач из теории чисел. Также рассматривались отдельные сложные задачи из сферы торговли.
Заключительной книгой в цикле трудов абака была Summa de arithmetica geometría proportioni et proportionalita («Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности») Луки Пачоли, первое издание которой было опубликовано в Венеции в 1494 году.
* * *
ЛУКА ПАЧОЛИ И «СУММА АРИФМЕТИКИ»
Монах-францисканец Лука Пачоли был одним из наиболее любопытных представителей итальянского Возрождения и одним из самых известных математиков той эпохи. Он родился в 1445 году в Борго-Сан-Сеполькро — там же, где и Пьеро делла Франческа. Возможно, последний в некотором роде был его учителем математики. Кроме того, Пачоли дружил с Леонардо да Винчи, с которым жил в одном доме несколько лет, и с Леоном Баттистой Альберти, у которого они оба жили в Риме.
Его важнейшей работой является «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности», завершенная в 1494 году и отпечатанная в Венеции под его непосредственным наблюдением. Книга была посвящена герцогу Урбинскому Гвидобальдо да Монтефельтро.
«Сумма арифметики», написанная на итальянском языке, представляла собой энциклопедию объемом свыше 600 страниц, содержавшую все алгебраические знания прошлых веков. Этот труд стал обязательным к изучению для алгебраистов XVI века, которые с его помощью смогли совершить новые открытия. Все они упоминают Пачоли в своих трудах: Джероламо Кардано (1501–1576) в своей «Практике арифметики» почтительно отзывается о нем, несмотря на то что уделяет целую главу исправлению многочисленных ошибок в работе Пачоли. Рафаэль Бомбелли (1526–1572) в предисловии к своей «Алгебре» утверждает, что после Фибоначчи Пачоли «первым пролил свет на эту науку».
Лука Пачоли умер в родном городе около 1517 года.
Фронтиспис «Суммы арифметики» Луки Пачоли.
* * *
Ниже представлен фрагмент «Суммы арифметики» Пачоли, где он восторженно отзывается о книге «О перспективе в живописи»:
Отрывок «Суммы арифметики» Пачоли, законченной в 1494 году, где он упоминает труд Пьеро делла Франческа.
«Еl su/blime pictore (ali di nostri anchor vivente) maestro Piero de li Franceschi, nostro conterra/neo del borgo San Sepolcro, hane in questi di composto degno Hbro de ditta prospectiva. Nel/qual altamente de la pictura parla, ponendo sempre al suo dir ancora el modo e la figura/del fare. El quale tutto habiamo lecto e discorso, el qual lui feci vulgare, e poi el famoso ora/tore, poeta, e rethorico, greco e latino (suo assiduo consotio, e similmente conterráneo) mae/stro Matteo lo recco alengua latina ornatissimamente de verbo ad verbum, con exquisiti/vocabuli».
(«Благородный художник (живущий в наши дни) мастер Пьеро делла Франческа, наш соотечественник из Борго-Сан-Сеполькро, недавно составил достойную книгу о перспективе, в которой со знанием говорит о живописи, и, по его словам, подтвержденным рисунками, обладает методом ее совершения. Эту книгу, которую он написал простонародным языком, мы прочли и изучили.
Затем знаменитый оратор, поэт и риторик, знаток греческого и латинского (его непременный сотоварищ и соотечественник) мастер Маттео дословно перевел ее на латинский язык элегантнейшим образом с превосходными изречениями».)
Как указано в тексте, книга «О перспективе в живописи» Пьеро делла Франче ска была переведена на латынь его другом, мастером Маттео.
Математические труды
Пьеро делла ФранческаПьеро делла Франческа был не только великим художником, но и автором нескольких книг по математике: уже упомянутой «О перспективе в живописи», «Трактата об абаке» и книги по геометрии, озаглавленной «Книга о пяти правильных телах».
«Трактат об абаке», как признается в предисловии сам автор, был написан не для использования в школах абака, а по просьбе друзей, возможно живописцев, как и он сам. В остальном структура книги схожа с остальными трактатами об абаке с единственным, но очень важным отличием: геометрии уделено намного больше внимания, чем обычно. Ей посвящены 48 из 127 страниц книги. В области арифметики «Трактат об абаке» может служить примером других подобных трудов того времени. Рассмотрим в качестве примера, как объясняется правило пропорции.
«Семь локтей ткани стоят девять лир. Сколько стоит пять локтей ткани?»
Лира — монета того времени, название которой происходило от латинской меры веса libra. Флорентийская лира равнялась 20 сольдо, равных 12 денаро каждое, подобно английскому фунту стерлингов, который вплоть до реформы 1971 года равнялся 20 шиллингам, каждый из которых был равен 12 пенни. Решение задачи таково:
Разворот «Книги о пяти правильных телах» Пьеро делла Франческа.
«Нужно сделать так: умножь число, которое хочешь узнать, на то, сколько стоят семь локтей ткани, то есть 9 лир, то есть 5 на 9, что дает 45. Раздели затем результат на 7; получишь 6 лир и 3 лиры в остатке. Переведи их в сольдо и получишь 60. Раздели их на 7 и в результате получишь 8 сольдо и 4 в остатке. Переведи их в денаро, что дает 48, снова раздели на 7. Результат равняется 6 денаро и 6/7. Получишь, что 5 локтей ткани этой цены будут стоить 6 лир, 8 сольдо, 6 денаро и 6/7».
В «Книге о пяти правильных телах» приведено множество геометрических задач, заимствованных из «Трактата об абаке», которые в некоторых случаях изложены более подробно. Этот труд состоит из четырех томов. В первом, который носит вводный характер, рассматриваются плоские многоугольники, во втором и третьем — пять Платоновых тел (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр) и вписанные фигуры. В четвертом и последнем томе изучаются другие многогранники, среди которых рассматриваются шесть из тринадцати архимедовых тел, или полуправильных многогранников. Всего в книге 140 задач, в 59 из которых речь идет о правильных многогранниках. Несмотря на то что задачи в книге разделены на классы, она во многом носит новаторский характер и имеет четко организованную структуру. В ней также рассматривается одна из классических тем древнегреческой геометрии — правильные многогранники, о которых писал Евклид в «Началах» и Архимед в трудах «О шаре и цилиндре» и «О коноидах и сфероидах».
В книге представлены задачи такого типа:
«Возьмем сферическое тело диаметром 7. Хочу поместить в него фигуру с четырьмя треугольными равносторонними гранями так, чтобы каждая вершина касалась окружности [sic]. Чему равны ребра фигуры?»
В качестве приближенного значения π использовалась дробь 22/7. Сохранился единственный экземпляр этой книги, который находится в Ватиканской библиотеке. Это был единственный труд Пьеро делла Франческа, отпечатанный в эпоху Возрождения. Изначально он представлял собой приложение к книге Луки Пачоли «О божественной пропорции», опубликованной в Венеции в 1509 году, которая подстегнула интерес к математическому и теоретическому изучению пространственных геометрических фигур.
Изучение математики для художников перестало быть чем-то носящим чисто практический характер и стало обязательным на пути к вершинам знания.
Объем купольного свода галереи
В «Книге о пяти правильных телах» Пьеро делла Франческа рассматривает любопытную задачу, в которой нужно определить объем общей части двух цилиндров равного диаметра, пересекающихся перпендикулярно друг другу.
Два перпендикулярных цилиндра равного диаметра в разрезе.
(источник: FMC)
Он пытался определить объем следующей фигуры.
Удвоенный купольный свод.
(источник: FMC)
Пьеро делла Франческа подтвердил, что объем этого тела равен 2/3·d3, где d — диаметр цилиндров. Более того, он посчитал необходимым объяснить, почему объем вычисляется именно по этой формуле. Подобный подход не применялся в других книгах того времени. В доказательстве использовались две следующих фигуры.
