Задача о квадратуре круга сводится к построению при помощи этих инструментов квадрата, площадь которого равна площади данного круга. Как греки ни старались, решение этой задачи им не давалось. Столь же неразрешимую задачу задал оракул на острове Делос. Жители этого греческого острова просили оракула посоветовать им, как избавиться от чумы, которую наслал на них бог Аполлон. Оракул ответил, что им следует удвоить размер алтаря Аполлона. Алтарь этот имел совершенную кубическую форму. Платон истолковал это указание как требование построить при помощи линейки и циркуля второй совершенный куб, объем которого был бы вдвое больше объема первого.
Если объем второго куба равен удвоенному объему первого, значит, длина его стороны должна быть равна произведению длины стороны первого куба на кубический корень из двух. Отмерить квадратный корень из двух просто, так как ему равна длина диагонали квадрата с единичной стороной; однако получить кубический корень из двух оказалось так трудно, что жители Делоса не смогли решить эту задачу. Может быть, при помощи геометрии и математики оракул просто хотел отвлечь внимание делосцев от стоявших перед ними более насущных социальных проблем.
Решение задач о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла (третья классическая задача) оказалось невозможным. Но математики сумели доказать, вне всякого сомнения, что все эти вещи невозможны, только к XIX в. Ключ к доказательству невозможности этих геометрических построений появился лишь с развитием теории групп – языка, используемого для понимания симметрии, который и сам я использую в своих исследованиях. Оказалось, что при помощи циркуля и линейки можно построить только такие отрезки, длины которых являются решениями некоторых типов алгебраических уравнений.
Решение задачи о квадратуре круга требует построения при помощи циркуля и линейки отрезка длиной π на основе отрезка единичной длины. Однако в 1882 г. было доказано, что π – число не просто иррациональное, но трансцендентное, что означает, что оно не является решением никакого алгебраического уравнения. А это, в свою очередь, значит, что квадратура круга невозможна.
Математика очень хорошо умеет доказывать, что что-то невозможно. Одна из самых знаменитых теорем, содержащихся в книгах по математике, – это Великая теорема Ферма, утверждающая, что невозможно найти ненулевые целые числа, удовлетворяющие уравнению
xn + yn = zn,
где натуральное число п больше 2. Это, очевидно, не так в случае n = 2, который соответствует уравнению, выведенному Пифагором для прямоугольного треугольника. Если n = 2, решений существует множество, например 32 + 42 = 52. На самом деле таких решений бесконечно много, и уже древние греки нашли формулу, по которой можно получить все такие решения. Но находить решения часто оказывается гораздо проще, чем доказать невозможность нахождения чисел, которые удовлетворяли бы любым из уравнений Ферма.
Как известно, Ферма считал, что нашел решение, но написал на полях своего экземпляра «Арифметики» Диофанта, что эти поля слишком малы для найденного им замечательного доказательства. Прошло целых 350 лет, прежде чем мой коллега по Оксфорду Эндрю Уайлс наконец смог представить убедительное доказательство того, почему целочисленные решения уравнения Ферма найти невозможно. Доказательство Уайлса занимает более сотни страниц, не считая тысяч страниц ранее разработанной теории, на которой оно основано. Так что для его изложения не хватило бы даже очень широких полей.
Доказательство Великой теоремы Ферма – это проявление подлинного мастерства. Я считаю честью для себя жить в то самое время, когда были найдены последние фрагменты этой головоломки.
До того как Уайлс продемонстрировал невозможность существования решения, все еще сохранялась возможность существования каких-нибудь особо хитрых чисел, которые могут быть решением одного из таких уравнений. Я помню великолепную первоапрельскую шутку, которая гуляла по математическому сообществу примерно в то же время, когда Уайлс объявил о своем доказательстве. Суть шутки состояла в том, что Ноам Элкис, уважаемый специалист по теории чисел из Гарварда, получил неконструктивное доказательство существования такого решения. Это первоапрельское электронное сообщение было написано весьма изобретательно, так как слово «неконструктивное» означало, что он не может прямо назвать числа, являющиеся решением уравнений Ферма, но из его доказательства следует, что решение должно существовать. Самое замечательное состоит в том, что многим это сообщение было переправлено через несколько дней после 1 апреля, когда шутка впервые вышла в свет, так что они понятия не имели, что она имеет отношение к первоапрельским розыгрышам.
Даже и без всевозможных розыгрышей математическое сообщество провело 350 лет, не зная, существует ли такое решение. Мы просто этого не знали. Но Уайлс в конце концов прекратил наши мучения. Его доказательство означает, что, сколько бы мы ни перебирали чисел, мы никогда не найдем такие три числа, которые будут решением одного из уравнений Ферма.
Нехватка нейронов
Мы живем в золотой век математики, в течение которого были наконец решены некоторые из величайших нерешенных задач. В 2003 г. российский математик Григорий Перельман решил одну из труднейших задач геометрии, доказав гипотезу Пуанкаре. Однако по-прежнему существует множество утверждений о числах и уравнениях, доказательства которых все еще ускользают от нас: гипотеза Римана, гипотеза парных простых чисел, гипотеза Бёрча – Свиннертон-Дайера, гипотеза Гольдбаха.
Мои собственные исследования, которым я посвятил последние двадцать лет, направлены на выяснение истинности или ложности так называемой гипотезы PORC[111]. Ее сформулировал более 50 лет назад оксфордский математик Грэм Хигман, предполагавший, что число групп симметрии с определенным числом симметрий должно выражаться красивым полиномиальным уравнением (буква Р в аббревиатуре PORC обозначает полином). Например, число групп симметрии с р6 симметриями, где р – простое число, дается квадратичным выражением относительно р: р2 + 39р + с (где с – константа, которая зависит от остатка от деления р на 60).
Результаты моих собственных исследований заставляют серьезно усомниться в справедливости этой гипотезы. Я открыл симметричный объект с р9 симметриями, поведение которого свидетельствует о значительном отклонении от предсказаний гипотезы Хигмана. Но это не дает окончательного решения задачи. По-прежнему возможно, что существуют другие симметричные объекты с р9 симметриями, которые могут скомпенсировать обнаруженное мною странное поведение, – и тогда гипотеза Хигмана останется справедливой. Поэтому на данный момент я не знаю, справедлива ли его гипотеза, а сам Хигман, к сожалению, умер, так и не узнав ответа на этот вопрос. Мне не терпится узнать его прежде, чем и моя конечная жизнь придет к своему концу, и именно вопросы такого рода побуждают меня заниматься математическими исследованиями.
Иногда, когда я блуждаю среди кажущихся бесконечными изгибов и поворотов своих исследований, я сомневаюсь, обладает ли мой мозг достаточными ресурсами для решения той задачи, над которой я работаю. Собственно говоря, при помощи математики можно доказать, что существуют математические задачи, превосходящие физические возможности человеческого мозга, который содержит 86 миллиардов нейронов, соединенных между собой более чем 100 триллионами синапсов.
Математика беспредельна. Она продолжается вечно. В отличие от шахмат, в которых, по оценкам, возможно около 101050 разных партий, число доказуемых математических утверждений бесконечно. В шахматах фигуры «съедают», партии выигрывают, и последовательности повторяются. В математике же не существует эндшпиля, из чего следует, что, даже если все мои 86 миллиардов нейронов будут возбуждаться с максимальной физически возможной скоростью, в течение всей своей жизни я смогу сделать лишь некоторое конечное число логических шагов и, таким образом, познать лишь некоторую конечную часть математики. Что, если для доказательства моей гипотезы PORC требуется больше логических шагов, чем я могу сделать за свою жизнь?
Даже если мы превратим всю Вселенную в один большой компьютер, возможный объем его знания все равно будет ограничен. В своей статье под названием «Вычислительная мощность Вселенной»[112] Сет Ллойд подсчитал, что с момента Большого взрыва Вселенная не могла произвести более 10120 операций с данными, максимальный объем которых составляет 1090 битов. В любой момент времени Вселенная может знать лишь некоторую конечную часть математики. Вы можете спросить: «А что, собственно, вычисляет Вселенная?» На самом деле она вычисляет свою собственную динамическую эволюцию. И хотя эти числа огромны, они все же конечны. Это означает, что мы можем доказать путем вычислений, что в любой момент времени всегда будет нечто, чего мы не знаем.
