Самый важный ингредиент на кухне математика – это доказательство.
Доказательство: путь к истине
Существуют свидетельства того, что люди занимались математикой уже во 2-м тысячелетии до н. э. На вавилонских глиняных табличках и египетских папирусах находятся сложные вычисления и решения задач: оценки значения π, формула расчета объема пирамиды, алгоритмы решения квадратных уравнений. Но, как правило, эти документы описывают процедуры, пригодные для решения конкретных задач. Мы не находим обоснований того, почему такие процедуры всегда работают, за исключением убедительных свидетельств того, что они успешно работали в тысячах предыдущих случаев, зарегистрированных на более ранних глиняных табличках. Математическое знание было основано на опыте и обладало скорее естественнонаучным оттенком. Новые процедуры разрабатывались, если возникала задача, которую нельзя было решить при помощи уже известных алгоритмов.
Затем, в районе V в. до н. э., положение дел начало изменяться, когда за эту тему взялись древние греки. В дополнение к алгоритмам стали появляться рассуждения, обосновывавшие, почему та или иная формула всегда работает, как указано на упаковке – или на глиняной табличке. Такое обоснование уже не сводилось к тому, что, раз алгоритм сработал последнюю тысячу раз, он, вероятно, будет работать и дальше: рассуждение объясняло, почему данное утверждение всегда будет справедливым. Так появилась идея доказательства.
Первым известным автором математического доказательства считается Фалес Милетский. Он доказал, что если взять любую точку на окружности и соединить ее с двумя концами диаметра этой окружности, то полученный угол всегда будет прямым. Какую бы окружность вы ни взяли, какую бы точку на ней ни выбрали, вы всегда получаете в точности прямой угол. Не приблизительно прямой, и не потому, что так, по-видимому, получается на всех ваших чертежах. Этот результат следует из свойств окружностей и прямых.
Доказательство Фалеса отталкивается от положений, в справедливости которых его читатель уже уверен и приходит к этому новому элементу знания, который вовсе не кажется изначально очевидным при простом взгляде на окружность, путем изобретательной последовательности логических ходов. Фокус заключается в построении отрезка, соединяющего исходную точку В, лежащую на окружности, с центром окружности О.
Какая нам от этого польза? Теперь у нас есть два треугольника, каждый из которых имеет две стороны равной длины. Это значит, что противоположные центру окружности углы в каждом из этих треугольников равны. Это свойство таких треугольников к тому времени уже было доказано. Возьмем большой треугольник АВС, который мы начертили в самом начале. Сумма его углов есть 2α + 2β. Тогда, с учетом того, что сумма всех углов треугольника должна быть равна 180°, мы знаем, что α + β = 90°, как и утверждал Фалес.
Когда я впервые увидел это доказательство в детстве, я пришел в настоящий восторг. Из картинки видно, что угол, примыкающий к окружности, похож на прямой. Но можно ли быть в этом уверенным? Мой разум искал какую-то причину, по которой это должно быть так. А потом, когда я перевернул страницу, увидел третий отрезок, который Фалес провел в центр окружности, и осознал логические следствия такого построения, я внезапно понял с ошеломляющей ясностью, почему этот угол действительно должен быть равен 90°.
Заметьте, что уже в этом доказательстве здание математического рассуждения строится на фундаменте положений, которые были доказаны ранее: например, того факта, что сумма углов треугольника всегда равна 180°. Открытие Фалеса, в свою очередь, стало основой для построения следующего этажа математического здания.
Доказательство Фалеса – лишь одно из многих, включенных в «Начала» Евклида. Многие считают эту книгу образцом самой сути математики и математического доказательства. Она начинается с основных структурных элементов, аксиом, геометрических утверждений, которые кажутся настолько самоочевидными, что читатель готов принять их в качестве надежного фундамента, на котором можно начать выстраивать логическое рассуждение.
Идея доказательства не возникла сама по себе, на пустом месте. Она скорее выросла из нового литературного стиля, разработанного в Древней Греции. Искусство риторики, сформулированное Аристотелем и подобными ему авторами, создало новый тип рассуждений, направленных на убеждение аудитории. Шла ли речь о юридических спорах, политических кампаниях или просто литературном повествовании, аудитории предлагалось совершить путешествие по логическому маршруту, в котором оратор пытался убедить слушателей в правоте своей позиции. Математика Египта и Вавилона выросла из строительства и измерения новых городов, возникавших в долинах Нила и Евфрата. Новая потребность в логике и риторических рассуждениях возникла из политических институтов эпохи расцвета греческих городов-государств, лежавших в основе греческой империи.
Для Аристотеля риторика была сочетанием чистой логики с методами, рассчитанными на воздействие на эмоции публики. Математическое доказательство происходит от первого из этих ингредиентов. Однако доказательство также связано с повествованием. И именно поэтому доказательство появилось в этот момент и в этом месте, вероятно, благодаря замысловатым историям, созданным такими драматургами, как Софокл и Еврипид, не в меньшей степени, чем благодаря философским диалогам Аристотеля и Платона.
В свою очередь, математические исследования греков со временем вышли из области практических алгоритмов для строителей и землемеров в сферу удивительных открытий, больше похожих на математические истории, поражающие воображение читателя.
Доказательство – это логическое повествование, уводящее читателя из места, ему известного, в новые, еще неизведанные дали. Подобно приключениям Фродо во «Властелине колец» Толкина, доказательство есть описание путешествия из Шира в Мордор. В пределах давно знакомого Шира находятся математические аксиомы, самоочевидные истины о числах и уже доказанные положения. Они образуют тот пейзаж, с которого начинается странствие. Путешествие, начинающееся с этой привычной территории, происходит по правилам математической дедукции, подобным правилам шахматных ходов, которые определяют, как мы можем перемещаться по этому миру. Время от времени мы можем заходить в тупик и быть вынуждены отклоняться в сторону или даже возвращаться назад, чтобы найти обходной путь. Иногда для продолжения такого путешествия приходится ждать появления новых математических персонажей – например мнимых чисел или методов дифференциального исчисления. Доказательство – это рассказ о путешествии и карта, на которой отмечены координаты этого путешествия. Путевой дневник математика.
Чтобы такое путешествие заняло свое место в математическом эпосе, ему недостаточно достичь истинного утверждения о числах или геометрических фигурах. Оно должно поражать, восхищать, эмоционально затрагивать своего читателя. В нем должны быть опасности и драматическое напряжение. Математика отличается от собрания истинных утверждений о числах так же, как литература не сводится к набору всех возможных сочетаний слов, а музыка – к коллекции всех возможных последовательностей нот. Математика требует применения эстетической оценки и выбора. И наверное, именно поэтому искусство математического доказательства развилось в эпоху расцвета повествования. Возможно, доказательство не в меньшей степени было порождено пафосом, эмоциональной стороной риторики Аристотеля, чем ее логосом, то есть рациональным аспектом.
Числа на грани
Хотя многие из первых геометрических доказательств конструктивны, древние греки также использовали свои новые математические инструменты для доказательства невозможности, непознаваемости некоторых вещей. Мы уже видели один яркий пример такого доказательства: квадратный корень из 2 не может быть выражен в виде отношения двух целых чисел.
Это доказательство обладает большой нарративной силой: оно увлекает читателя в путешествие, исходя из предположения, что длина диагонали может быть выражена в виде дроби. По мере невинного на вид развития сюжета мы все дальше и дальше углубляемся в кроличью нору этой истории, пока наконец не доходим до совершенно абсурдного вывода: четные числа есть числа нечетные и наоборот. Мораль сей басни заключается в том, что предполагаемая дробь, выражающая искомую длину, может быть лишь иллюзией. Для желающих совершить путешествие вниз по кроличьей норе эта история изложена в рамке на следующей странице.
Тем, кто впервые встречался с числом, подобным квадратному корню из двух, оно должно было казаться объектом, который по самой своей природе не подлежит полному познанию. Знать число означало записать его, выразить через уже известные числа. Но это число, по-видимому, не поддавалось никаким попыткам записать его значение.
