Reidemeister). Эта идея позволяет свести изучение узлов в пространстве к изучению их проекций (так называемых диаграмм узлов) на плоскости. В итоге она привела учёного к теории катастроф, кодированию узлов и обработке узлов с помощью компьютера.
Известен также алгоритм, изобретённый соотечественником Рейдемейстера Вольфгангом Хакеном (Wolfgang Haken), который позволяет определить, можно или нельзя развязать данный узел. Но этот алгоритм очень сложный. Дело в том, что иногда, чтобы распутать узел, нужно сначала его ещё больше запутать. Вот пример тривиального узла, который не упрощается (его можно развязать, только увеличив сначала число перекрёстков):
Тривиальный неупрощаемый узел
Нужно сказать, что в дальнейшем придумывание плохо распутываемых тривиальных узлов стало важной частью исследований алгоритмов распутывания. На рисунке показан особенно яркий пример узла такого типа (очень трудного для распутывания, и потому не случайно названного Гордиевым).
«Гордиев узел» Вольфганга Хакена
Применяется в науке также и термин «арифметика узлов». Основная теорема арифметики узлов (существование и единственность разложения узла на простые множители) была доказана в 1949 г. немцем Хорстом Шубертом (Horst Schubert). Подозрительное сходство между множеством узлов, наделённым операцией композиции (которая состоит, просто-напросто, в завязывании узлов последовательно один за другим), и множеством натуральных чисел с операцией умножения – породила различные надежды. Например, не являются ли узлы не чем иным, как геометрическим кодированием чисел, не сведётся ли классификация узлов к банальному пересчёту. К счастью, эти сомнения математиков были вскоре развеяны.
Весьма интересно и полезно изобретение, на первый взгляд тривиальное, англо-американца Джона Конвея (John Conway), одного из наиболее оригинальных математиков прошлого века. Речь идёт о новых небольших геометрических операциях над диаграммами узлов. В отличие от операций Рейдемейстера, они позволяют изменять не только вид диаграммы узла, но также и тип узла, а иногда преобразовывают его в зацепление. С их помощью можно определять и вычислять полином Александера-Конвея узла (или зацепления). Эти операции дают очень удобный и достаточно эффективный метод доказательства того, что два узла имеют разный тип и, в частности, что некоторые узлы не могут быть развязаны.
И все-таки, на мой взгляд, больше всего читателей может заинтересовать не этот метод, а биологическое отступление, в котором объясняется, что операции Конвея описывают действие топоизомераз (недавно открытых особых ферментов) на молекулярном уровне. Мне как человеку, активно увлекающемуся ДНК-генеалогией (по сути «молекулярной историей»), буквально недавно написавшему книгу «Древнейшая история Пензенского края: мифы и реальность», где история рассматривается с точки зрения именно новейших исследований ДНК-генеалогии, было особенно интересно самому вникнуть в эту тему и познакомить с ней моих читателей.
Как известно, ДНК состоит из 46 хромосом (23 пары). Все 46 хромосом в итоге состоят из 3 миллиардов нуклеотидов (или нуклеотидных пар), и в их составе находятся примерно 30 тысяч генов. Стало быть, в среднем на одну хромосому приходится 65 миллионов нуклеотидов и 652 гена. Автор множества книг по генеалогии, учёный с мировым именем, доктор химических наук, профессор Гарвардского университета и основатель науки ДНК-генеалогии Анатолий Клёсов в 2006 году ввел термин «ДНК-генеалогия» для изучения мужской Y-хромосомы. При этом точно известно, что в Y-хромосоме содержится 58 миллионов нуклеотидов и всего 40 генов. ДНК-генеалогия рассматривает закономерности наследования изменений нерекомбинантных (негенных) участков ДНК человека в ходе его эволюции на шкале времени от десятков и сотен лет до миллионов лет. Другими словами, ДНК-генеалогия изучает динамику накопления мутаций в ДНК человека, используя подходы химической и биологической кинетики, которые в свою очередь являются частью физической химии. Важнейшая особенность методологии ДНК-генеалогии – определение констант скоростей мутаций в ДНК (в первую очередь в тандемных повторяющихся последовательностях Y-хромосомы, так называемых маркерах, которых, по оценкам, имеется примерно 2500, а также накопления снипов (необратимых мутаций в ДНК) и приложение этих констант к расчётам хронологии древних событий – древних миграций человека, времён жизни общих предков изучаемых популяций.
Вот как сам Анатолий Клёсов определяет суть основополагающих понятий ДНК-генеалогии и, в частности, её прикладной науки – молекулярной истории: «Суть понятия молекулярной истории втом, что становится возможнымсле-дить за передвижениями древних народов не с помощью лопаты и кисточки археолога, не обмеряя черепа, не хитроумно расплетая созвучия и значения слов в живых и мёртвых языках, не изучая древние фолианты в библиотеках и монастырях, а прослеживая за метками в Y-хромосомах наших ДНК. Они, эти метки, не могут «ассимилироваться», или «поглотиться» другими языками, культурами или народами, как это происходит тысячелетиями с языками, культурами, народами в рамках понятий истории, лингвистики, этнографии, антропологии. Иначе говоря, методология новой исторической науки, «молекулярной истории», или ДНК-генеалогии, основывается на изучении молекул нуклеиновых кислот, а именно ДНК, дезоксирибонуклеиновой кислоты, в человеческих организмах, как живых, так и в древних костных останках. То, что еще несколько лет назад казалось каким-то развлечением, оказалось, даёт истории, антропологии, археологии, лингвистике возможность проверить концепцию, рассмотреть данные под принципиально другим углом, связать воедино, казалось бы, разрозненные части общей картины наших знаний об окружающем мире».
Важность молекулы ДНК, открытой Уотсоном и Криком, – молекулы, несущей генетический код – поставила перед биохимиками целую серию топологических проблем. Эта длинная закрученная двойная спираль может, как известно, воспроизводить свою копию, затем разделяясь в две одинаковые молекулы, которые – в отличие от двух нитей исходной молекулы – не сцеплены между собой и могут разойтись. Как это возможно топологически?
Достаточно тонкие исследования показали, что существуют ферменты, выполняющие эту задачу. Они называются топоизомеразами. Точнее, топоизомеразы позволяют осуществлять три основных операции, представленные на рисунке ниже:
Просвещённые читатели наверняка сразу же узнают операции а) и б) – это, конечно, переброска и разрешение Конвея. Третья операция, которая называется твист, также известна в топологии; она имеет отношение к математической теории лент, весьма полезной в современной теоретической физике.
Схемы операций, производимых топоизомеразами над ДНК
Тем же, кто не знаком с переброской и разрешением Конвея, напоминаю эти операции на конкретных рисунках.
Переброска: верхняя дуга становится нижней
Первая операция, которую мы назвали переброской, состоит в преобразовании выбранного перекрёстка в противоположный – верхняя ветвь становится нижней и наоборот. На верёвке переброска может быть реализована разрезанием верхней ветви и склеиванием её под второй ветвью.
Вторая малая хирургическая операция – разрешение перекрёстка – состоит в ликвидации пересечения путём взаимной замены ветвей. На верёвке она реализуется разрезанием обеих ветвей в точке пересечения и последующим склеиванием их «наоборот».
Разрешение
