Для расчета вероятности выпадения трех орлов в трех попытках вам надо нарисовать дерево с тремя рядами «узлов», причем из каждого узла исходят две «ветви».
В этом примере нас интересует вероятность выпадения трех орлов подряд при условии, что монета «честная». Посмотрите на столбец, озаглавленный «исход», и найдите исход ООО. Поскольку это единственный исход с тремя орлами, перемножьте вероятности вдоль ветви 000 (обведенной на диаграмме) и вы получите 0,5 х 0,5 х 0,5 = 0,125. Вероятность 0,125 означает, что если монета «честная», то в среднем она будет падать орлом вверх три раза подряд в 12,5% случаев. Поскольку эта вероятность невелика, то при выпадении трех орлов подряд большинство людей начинает подозревать, что монета «с секретом».
Для расчета вероятности выпадения четырех орлов в четырех попытках добавьте к дереву дополнительные ветви.
Вероятность выпадения четырех орлов равна 0,5 х 0,5 х 0,5 х 0,5 = 0,0625, или 6,25%. Как вы уже знаете, математически она равна 0,54; т. е. умножить число само на себя четыре раза - это то же самое, что возвести его в четвертую степень. Если вы будете считать на калькуляторе, где есть операция возведения в степень, то вы получите тот же самый ответ - 0,0625. Хотя такой исход возможен и когда-нибудь произойдет, он маловероятен. На самом деле он настолько неправдоподобен и необычен, что многие сказали бы, что человек с бегающими глазками, наверное, жульничает. Несомненно, что при выпадении пятого орла подряд разумно будет заключить, что вы имеете дело с мошенником. Для большинства научных целей событие считается «необычным», если его появление ожидается с вероятностью менее 5%. (На языке теории вероятностей это записывается так: р ‹0,05.)
Давайте оставим искусственный пример с монетой и применим ту же логику в более полезном контексте. Я уверена, что любой студент когда-либо сталкивался с тестами с выбором вариантов, в которых нужно выбирать из предложенных вариантов правильные ответы. В большинстве таких тестов на каждый вопрос предлагается пять вариантов ответов, из которых правилен только один. Предположим, что вопросы настолько трудны, что вы можете только случайно угадать правильный ответ. Какова вероятность правильного угадывания при ответе на первый вопрос? Если вы понятия не имеете, какой из вариантов является правильным ответом, то вы с одинаковой вероятностью можете выбрать любой из пяти вариантов, предполагая, что любой из них может оказаться правильным. Поскольку сумма вероятностей выбора всех вариантов должна быть равна единице, то вероятность выбора каждого из вариантов при равновероятности всех вариантов равна 0,20. Один из вариантов правильный, а остальные - неправильные, поэтому вероятность выбора правильного варианта равна 0,20. Древовидная диаграмма этой ситуации изображена ниже.
Какова вероятность правильно угадать ответы на первые два вопроса теста? Нам придется добавить новые ветви к дереву, которое вскоре станет очень густым. Чтобы сэкономить место и упростить вычисления, можно представить все неправильные варианты в виде одной ветви, обозначенной «неправильные». Вероятность ошибиться при ответе на один вопрос равна 0,8.
Вероятность правильно угадать ответы на два вопроса равна 0,2 х 0,2 = 0,04. То есть случайно это может произойти только в 4% попыток. Допустим, что мы расширим наш пример до трех вопросов. Я не буду рисовать дерево, но вы должны уже понять, что вероятность равна 0,2 х 0,2 х 0,2 = 0,008. Это настолько необычное событие, что оно может произойти случайно менее чем в 1 % попыток. Что вы подумаете о человеке, которому удалось правильно ответить на все три вопроса? Большинство людей (а преподаватели тоже люди) заключит, что студент не выбирал ответы наугад, а действительно что-то знал. Конечно, не исключено, что ему просто повезло, но это чрезвычайно маловероятно. Таким образом, мы приходим к выводу, что полученный результат не может объясняться только удачей.
Мне хотелось бы отметить одну любопытную сторону таких рассуждений. Рассмотрим плачевную ситуацию, в которую попала Сара. Она отвечала на 15 вопросов теста, где ответ на каждый вопрос надо было выбирать из пяти вариантов. Сара ответила неправильно на все 15 вопросов. Можете ли вы определить вероятность того, что это произошло случайно? Я не буду рисовать древовидную диаграмму для иллюстрации этой ситуации, но легко видеть, что вероятность ошибиться при ответе на один вопрос равна 0,8; поэтому вероятность неправильно ответить на все 15 вопросов равна 0,815. Это число 0,8, умноженное само на себя 15 раз, в результате чего получается 0,0352. Поскольку вероятность такой случайности равна 3,52%, может быть, Саре стоит заявить преподавателю, что такой необычный результат не может объясняться случайностью? Сара, конечно, может привести подобный довод, но поверили бы вы ей на месте преподавателя? Предположим, она утверждает, что знала ответы на все вопросы. Как иначе она смогла бы не выбрать правильный вариант ответа в 15 вопросах подряд? Я не знаю, сколько преподавателей поверили бы ее утверждению, что 15 неверных ответов доказывают наличие у нее знаний, хотя в принципе такой ход рассуждений используется для доказательства наличия знаний, поскольку вероятность правильно угадать все ответы примерно такая же. (В этом примере вероятность наугад ответить правильно на все 15 вопросов равна 0,2015; это число значительно меньше 0,0001.) Если бы преподавателем Сары была я, то я бы поставила ей высокие оценки за творческий подход и понимание статистических принципов. Не исключено, что Сара действительно что-то знала на эту тему, но в этом «чем-то» была систематическая ошибка. Я бы также указала ей на то, что, возможно, она не подготовилась к тесту, а вдобавок ей еще и не повезло, и она сделала 15 неверных догадок. В конце концов, иногда случаются и очень необычные события.
Перед тем как перейти к чтению следующего раздела, проверьте, понимаете ли вы, как применять древовидные диаграммы для расчета вероятностей и учета всех возможных исходов. В этой главе я еще вернусь к таким диаграммам. Когда вы научитесь их использовать, вы будете удивлены, как много существует ситуаций, в которых они могут применяться.
Ошибка при конъюнкции - применение правила «и»
Тверски и Канеман (Tversky amp; Kahneman, 1983) составили следующую задачу.
Линде 31 год, она откровенный и прямой человек и очень способна. В колледже она выбрала в качестве основного предмета философию. Когда она была студенткой, ее волновали проблемы расовой дискриминации и социальной справедливости; кроме того, она участвовала в антиядерных демонстрациях.
Для каждого из следующих утверждений укажите вероятность того, что это утверждение служит описанием Линды.
A. Линда работает учительницей в начальной школе.
Б. Линда работает в книжном магазине и занимается йогой.
B. Линда активно участвует в движении феминисток.
Г. Линда работает социальным психиатром.
Д. Линда является членом Лиги женщин-избирателей.
Е. Линда работает кассиром в банке.
Ж. Линда работает страховым агентом.
З. Линда работает кассиром в банке и активно участвует в движении феминисток.
Теперь прекратите чтение и оцените вероятность истинности каждого из утверждений (р. 297).
Этот небольшой отрывок про Линду был написан в качестве характерного описания активной феминистки, чему соответствует утверждение В. Таким образом, если воспользоваться распространенным стереотипом «типичной феминистки», то правдоподобным описанием является В. Обратите внимание на утверждения Е (кассир) и 3 (феминистка и кассир). Как вы оценили вероятность истинности этих утверждений? Большинство людей считает, что истинность 3 более вероятна, чем истинность Е. Понимаете ли вы, что Е должно быть более вероятным утверждением, чем 3, если быть кассиром в банке и быть феминисткой - события независимые? Бывают кассиры, которые не принимают активного участия в феминистском движении. При определении вероятности совместного появления двух событий вы перемножаете вероятности их появления по отдельности (правило «и»). Таким образом, вероятность совместного появления этих событий должна быть меньше, чем вероятность каждого из этих событий. В исследовании Тверски и Канемана (Tversky amp; Kahneman, 1983) 85% субъектов оценили вероятность истинности утверждения 3 выше, чем Е. Ошибка, возникающая, когда люди считают, что совместное появление двух событий более вероятно, чем появление одного из них, называется ошибкой конъюнкции.
Для тех читателей, которым легче воспринимать пространственную информацию, давайте представим задачу в виде круговых диаграмм - такая форма представления использовалась при рассмотрении силлогизмов в главе о рассуждениях. Пусть один круг представляет всех на свете банковских кассиров, а другой - всех феминисток. Эти два круга должны наложиться друг на друга, потому что некоторые банковские кассиры являются одновременно феминистками. На рис. 7.3 область пересечения кругов заштрихована. Как видно из рис. 7.3, заштрихованная область, которая представляет всех людей, одновременно являющихся кассирами и феминистками, должна быть меньше, чем круг, представляющий всех кассиров, потому что существуют кассиры, которые не являются феминистками.
