(Мы использовали также тот факт, что Н21=Н*12, так что H12H21 может быть записано в виде |Н12|2.) Опять в частном случае поля в направлении z это даст
откуда | H12| в этом частном случае равно нулю, что означает, что в H12не может войти член с Вz. (Вы помните, что мы говорили о линейности всех членов по Вх, Вyи Bz.)
Итак, пока мы узнали, что в Н11и H22 входят члены с Вz, а в H12 и H21 — нет. Можно попробовать угадать формулы, которые будут удовлетворять уравнению (8.20), написав
H11=-mВz,
H22=mBz
и
Оказывается, что никак иначе этого сделать нельзя!
«Погодите,— скажете вы,— H12 по В не линейно. Из (8.21) следует, что H12=mЦ(В2x+В2y)». Не обязательно. Есть и другая возможность, которая уже линейна, а именно
Н12=m(Вx+iBy).
На самом деле таких возможностей не одна, в общем случае можно написать
где d — произвольная фаза.
Какой же знак и какую фазу мы обязаны взять? Оказывается, что можно выбрать любой знак и фазу тоже любую, а физические результаты от этого не изменятся. Так что выбор — это вопрос соглашения. Еще до нас кто-то решил ставить знак минус и брать еid=-1. Мы можем делать так же и написать
(Кстати, эти соглашения связаны и согласуются с тем произволом в выборе фаз, который мы использовали в гл. 4.) Полный гамильтониан для электрона в произвольном магнитном поле, следовательно, равен
уравнения для амплитуд С1 и С2 таковы:
Итак, мы открыли «уравнения движения спиновых состояний» электрона в магнитном поле. Мы угадали их, пользуясь некоторыми физическими аргументами, но истинная проверка всякого гамильтониана заключается в том, что он обязан давать предсказания, согласующиеся с экспериментом. Из всех сделанных проверок следует, что эти уравнения правильны. Более того, хотя все наши рассуждения относились к постоянному полю, написанный нами гамильтониан правилен и тогда, когда магнитные поля меняются со временем. Значит, мы теперь можем применять уравнения (8.23) для решения всевозможных интересных задач.
§ 7. Вращающийся электрон в магнитном поле
Пример первый: пусть сначала имеется постоянное поле в направлении z. Ему соответствуют два стационарных состояния с энергиями ±mBz. Добавим небольшое поле в направлении х. Тогда уравнения получатся такими же, как в нашей старой задаче о двух состояниях. Опять, в который раз, получается знакомый уже нам переброс, и уровни энергии немного расщепляются. Пусть, далее, x-компонента поля начнет меняться во времени, скажем, как coswt. Тогда уравнения станут такими, как для молекулы аммиака в колеблющемся электрическом поле (см. гл. 7). И тем же способом, что и прежде, вы можете рассчитать процесс во всех деталях. При этом вы увидите, что колеблющееся поле приводит к переходам от +z-состояния к —z-состоянию и обратно, если только горизонтальное поле колеблется с частотой, близкой к резонансной, w0=2mBz/h. Это приводит к квантовомеханической теории явлений магнитного резонанса, описанной нами в гл. 35 (вып. 7).
Можно еще сделать мазер, в котором используется система со спином 1/2. Прибор Штерна — Герлаха создает пучок частиц, поляризованных, скажем, в направлении +z, и они потом направляются в полость, находящуюся в постоянном магнитном поле. Колеблющиеся в полости поля, взаимодействуя с магнитным моментом, вызовут переходы, которые будут снабжать полость энергией.
Рассмотрим теперь второй пример. Пусть у нас имеется магнитное поле В, направление которого характеризуется полярным углом 6 и азимутальным углом j (фиг. 8.10).
Фиг. 8.10. Направление В определяется полярным углом q и азимутальным углом j.
Допустим еще, что имеется электрон, спин которого направлен по полю. Чему равны амплитуды С1и С2для этого электрона? Иными словами, обозначая состояние электрона |y>, мы хотим написать
где C1и С2 равны
а |1> и |2>обозначают то же самое, что раньше обозначалось |+> и |-> (по отношению к выбранной нами оси z).
Ответ на этот вопрос также содержится в наших общих уравнениях для систем с двумя состояниями. Во-первых, мы знаем, что раз спин электрона параллелен В, то электрон находится в стационарном состоянии с энергией ЕI=-mB. Поэтому и c1 и С2 должны изменяться как
[см. уравнение (7.18)]; и их коэффициенты а1и а2 даются формулой (8.5):
Вдобавок a1 и а2 должны быть нормированы так, чтобы было |a|2 +|а2|2=1. Величины Н11и H12 мы можем взять из (8.22), используя равенства
Bz=Bcosq, Вх=Вsinqcosj, Ву=Вsinqsinj.
Тогда мы имеем
Кстати, скобка во втором уравнении есть просто, так что проще писать
Подставляя эти матричные элементы в (8.24) и сокращая на -mB, находим
Зная это отношение и зная условие нормировки, можно найти и а1, и а2. Сделать это нетрудно, но мы сократим путь, прибегнув к одному трюку. Известно, что
1-cosq=2sin2(q/2) и sinq=2sin(q/2)cos(q/2). Значит, (8.27) совпадает с
Один из ответов, следовательно, таков:
Он удовлетворяет и уравнению (8.28), и условию
Вы знаете, что умножение a1 и а2 на произвольный фазовый множитель ничего не меняет. Обычно формуле (8.29) предпочитают более симметричную запись, умножая на e'f'2. Принято писать так:
Это и есть ответ на наш вопрос. Числа а1и а2 — это амплитуды того, что электрон будет замечен спином вверх или вниз (по отношению к оси z), если известно, что его спин направлен вдоль оси (q,j). [Амплитуды C1и С2равны просто a1 и a2, умноженным на
Заметьте теперь занятную вещь. Напряженность В магнитного поля нигде в (8.30) не появляется. Тот же результат разумеется, получится в пределе, если поле В устремить к нулю Это означает, что мы дали общий ответ на вопрос, как представлять частицу, спин которой направлен вдоль произвольной оси. Амплитуды (8.30) — это проекционные амплитуды для частиц со спином 1/2, подобные проекционным амплитудам для частиц со спином 1, приведенным в гл. 3 [уравнения (3.38)]. Теперь мы сможем находить для фильтрованных пучков частиц со спином 1/2 амплитуды проникновения через тот или иной фильтр Штерна — Герлаха.
Пусть |+z> представляет состояние со спином, направленным по оси z вверх, а |-z> — состояние со спином вниз. Если | +z'> представляет состояние со спином, направленным вверх по оси z', образующей с осью z углы q и j, то в обозначениях гл. 3 мы имеем
Эти результаты эквивалентны тому, что мы нашли из чисто геометрических соображений в гл. 4 [уравнение (4.36)]. (Если вы в свое время решили пропустить гл. 4, то вот перед вами один из ее существенных результатов.)
Напоследок вернемся еще раз к тому примеру, о котором уже не раз говорилось. Рассмотрим такую задачу. Сперва имеется электрон с определенным образом направленным спином, затем на 25 минут включается магнитное поле в направлении z, а затем выключается. Каким окажется конечное состояние? Опять представим состояние в виде линейной комбинации |y>=|1>C1+|2>С2, Но в нашей задаче состояния с определенной энергией являются одновременно нашими базисными состояниями |1> и |2>, Значит, С1и С2 меняются только по фазе. Мы знаем, что
