Посмотрим, почему это так. Начнем с Bz. Раз Вz встречается только в H11 и H22, то все будет в порядке, если взять
Мы часто пишем матрицу Hijв виде таблички такого рода:
Для гамильтониана частицы со спином 1/2 в магнитном поле В—это все равно что
Точно так же и коэффициенты можно записать в виде матрицы
Расписывая коэффициенты при Вх, получаем, что элементы матрицы sхдолжны иметь вид
Или сокращенно:
Инаконец, глядя на By, получаем
или
Если так определить три матрицы сигма, то уравнения (9.1) и (9.4) совпадут. Чтоб оставить место для индексов i и j, мы отметили, какая а стоит при какой компоненте В, поставив индексы х, у, z сверху. Обычно, однако, i и j отбрасывают (их легко себе и так вообразить), а индексы х, у и z ставят внизу. Тогда (9.4) записывается так:
Матрицы сигма так важны (ими беспрерывно пользуются),
что мы выписали их в табл. 9.1. (Тот, кто собирается работать
в квантовой физике, обязан запомнить их.) Их еще называют
спиновыми матрицами Паули — по имени физика, который
их выдумал.
Таблица 9.1 · СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ ПАУЛИ
В таблицу мы включили еще одну матрицу 2X2, которая бывает нужна тогда, когда мы хотим рассматривать систему, о6a спиновых состояния которой имеют одинаковую энергию, или когда хотим перейти к другой нулевой энергии. В таких случаях к первому уравнению в (9.1) приходится добавлять E0С+ , а ко второму Е0С-. Это можно учесть, введя новое обозначение — единичную матрицу «1», или dij:
переписав (9.8) в виде
Обычно просто понимают без лишних оговорок, что любая константа наподобие Е0автоматически умножается на единичную матрицу, и тогда пишут просто
Одна из причин, отчего спиновые матрицы так полезны,— это что любая матрица 2x2 может быть выражена через них. Во всякой матрице стоят четыре числа, скажем
Ее всегда можно записать в виде линейной комбинации четырех матриц. Например,
Это можно делать по-всякому, но, в частности, можно сказать, что М состоит из какого-то количества sхплюс какое-то количество а и т. д., и написать
где «количества» a, b, g и d в общем случае могут быть комплексными числами.
Раз любая матрица 2X2 может быть выражена через единичную матрицу и матрицу сигма, то все, что может понадобиться для любой системы с двумя состояниями, у нас уже есть. Какой бы ни была система с двумя состояниями — молекула аммиака, краситель фуксин, что угодно,— гамильтоново уравнение может быть переписано в сигмах. Хотя в физическом случае электрона в магнитном поле сигмы кажутся имеющими геометрический смысл, но их можно считать и просто полезными матрицами, пригодными к употреблению во всякой системе с двумя состояниями.
Например, один из способов рассмотрения протона и нейтрона — это представлять их как одну и ту же частицу в любом из двух состояний. Мы говорим, что нуклон (протон или нейтрон) есть система с двумя состояниями, в данном случае состояниями по отношению к электрическому заряду. Если рассматривать нуклон таким образом, то состояние |1>может представлять протон, а |2> — нейтрон. Говорят, что у нуклона есть два состояния «изотопспина».
Поскольку мы будем применять матрицы сигма в качестве «арифметики» квантовой механики систем с двумя состояниями, то наскоро познакомимся с соглашениями матричной алгебры. Под «суммой» двух или большего числа матриц подразумевается как раз то, что имелось в виду в уравнении (9.4).
Вообще если мы «складываем» две матрицы А и В, то «сумма» С означает, что каждый ее элемент Cijдается формулой
Cij=Aij+Bij.
Каждый элемент С есть сумма элементов А и В, стоящих на тех же самых местах.
В гл. 3, § 6, мы уже сталкивались с представлением о матричном «произведении». Та же идея полезна и при обращении с матрицами сигма. В общем случае «произведение» двух матриц A и В (в этом именно порядке) определяется как матрица С с элементами
Это — сумма произведений элементов, взятых попарно из i-й строчки А и k-ro столбца В. Если матрицы расписаны в виде таблиц, как на фиг. 9.1, то можно указать удобную «систему» получения элементов матрицы-произведения.
Фиг. 9.1. Перемножение двух матриц.
Скажем, вы вычисляете С23. Вы двигаете левым указательным пальцем по второй строчке А, а правым — вниз по третьему столбцу В, перемножаете каждую пару чисел и складываете пары по мере движения. Мы попытались изобразить это на рисунке.
Для матриц 2X2 это выглядит особенно просто. Например, если sхумножается на sx, то выходит
т. е. просто единичная матрица. Или, для примера, подсчитаем еще
Взглянув на табл. 9.1, вы видите, что это просто матрица sx, умноженная на i. (Вспомните, что умножение матрицы на число означает умножение каждого элемента матрицы на число.) Попарные произведения сигм очень важны и выглядят они довольно забавно, так что мы их выписали в табл. 9.2. Вы сами можете подсчитать их, как мы сделали это с s2хи sхsy.
С матрицами о связан еще один очень интересный и важный момент. Можно, если угодно, представить себе, что три матрицы sх., syи sz подобны трем компонентам вектора; его иногда именуют «вектором сигма» и обозначают а. Это на самом деле «матричный вектор», или «векторная матрица». Это три разные матрицы, связанные каждая со своей осью х, у или z. С их помощью гамильтониан системы можно записать в красивом виде, пригодном для любой системы координат:
Таблица 9.2 · ПРОИЗВЕДЕНИЯ СПИНОВЫХ МАТРИЦ
Хотя мы записали эти три матрицы в представлении, в котором понятия «вверх» и «вниз» относятся к направлению z (так что sz выглядит особенно просто), но можно представить себе, как будут они выглядеть в любом другом представлении. И хотя это требует немалых выкладок, можно все же показать, что они изменяются как компоненты вектора. (Мы, впрочем, пока не будем заботиться о том, чтобы доказать это. Проверьте сами, если хотите.) Вы можете пользоваться о в различных системах координат, как если бы это был вектор.
Вы помните, что гамильтониан Н связан в квантовой механике с энергией. Он действительно в точности совпадает с энергией в том простом случае, когда состояний только одно. Даже в системе с двумя состояниями, какой является спин электрона, если записать гамильтониан в виде (9.13), он очень напоминает классическую формулу энергии магнита с магнитным моментом m в магнитном поле В. Классически это выглядит так:
где m — свойство объекта, а В — внешнее поле. Можно вообразить себе, что (9.14) обращается в (9.13), если классическую энергию заменяют гамильтонианом, а классическое m — матрицей (ms. Тогда после такой чисто формальной замены результат можно будет интерпретировать как матричное уравнение. Иногда утверждают, что каждой величине в классической физике соответствует в квантовой механике матрица. На самом деле правильнее было бы говорить, что матрица Гамильтона соответствует энергии и что у каждой величины, которая может быть определена через энергию, есть соответствующая матрица. Например, магнитный момент можно определить через энергию, сказав, что энергия во внешнем поле В есть —m·B. Это определяет вектор магнитного момента m. Затем мы смотрим на формулу для гамильтониана реального (квантового) объекта в магнитном поле и пытаемся угадать, какие матрицы соответствуют тем или иным величинам в классической формуле. С помощью этого трюка иногда у некоторых классических величин появляются их квантовые двойники.
