и
Мы сказали, что вначале у спина электрона было определенное направление. Это означает, что вначале С1и С2были двумя числами, определяемыми формулами (8.30). Переждав Т секунд, новые С1 и С2 мы получим из прежних умножением соответственно на и. Что это будут за состояния? Узнать это легко, ведь это все равно, что изменить угол j, вычтя из него 2mBzT/h, и не трогать угол q.
Это значит, что к концу интервала времени Т состояние |y> будет представлять электрон, выстроенный в направлении, отличающемся от первоначального только поворотом вокруг оси z на угол Dj=2mBzT/h. Раз этот угол пропорционален Т, то можно говорить, что направление спина прецессирует вокруг оси z с угловой скоростью 2mBz/h. Этот результат мы уже получали раньше несколько раз, но не так полно и строго. Теперь мы получили полное и точное квантовомеханическое описание прецессии атомных магнитов.
Любопытно, что математические идеи, которые мы только что применили к электрону, вращающемуся в магнитном поле, применимы и для любой системы с двумя состояниями. Это означает, что, проведя математическую аналогию с вращающимся электроном, можно при помощи чисто геометрических рассуждений решить любую задачу для двухуровневой системы. Сперва вы сдвигаете энергию так, чтобы (H11+H22) было равно нулю (так что H11=-H22). И тогда любая задача о такой системе формально совпадет с задачей об электроне в магнитном поле. Вам нужно будет только отождествить —mBzс H11, а -m(Вх-iBy) с H12. И неважно, какая физика там была первоначально — молекула ли аммиака или что другое,— вы можете перевести ее на язык соответствующей задачи об электроне. Стало быть, если мы в состоянии решить в общем случае задачу об электроне, мы уже решили все задачи о двух состояниях.
А общее решение для электронов у нас есть! Пусть вначале электрон обладает определенным состоянием, в котором спин направлен вверх по некоторому направлению, а магнитное поле В — в какую-то другую сторону. Вращайте просто направление спина вокруг оси В с векторной угловой скоростью w(t), равной некоторой константе, умноженной на вектор В (а именно w=2mВ/h). Если В меняется со временем, двигайте по-прежнему ось вращения так, чтобы она оставалась параллельной В, и изменяйте скорость вращения так, чтобы она все время была пропорциональна напряженности В (фиг. 8.11).
Фиг. 8.11. Направление спина электрона в изменяющемся магнитном поле В (t) прецессирует с частoтой w(t) вокруг оси, параллельной В.
Если все время это делать, вы остановитесь на какой-то конечной, ориентации спиновой оси, и амплитуды С1и С2 получатся просто как ее проекции [при помощи (8.30)] на вашу систему координат.
Вы видите, что задача эта чисто геометрическая: надо заметить, где закончились все ваши вращения. Хотя сразу видно, что для этого требуется, но эту геометрическую задачу (отыскание окончательного итога вращений с переменным вектором угловой скорости) нелегко в общем случае решить явно. Во всяком случае, мы в принципе видим общее решение любой задачи для двух состояний. В следующей главе мы глубже исследуем математическую технику обращения с частицами спина 1/2 и, следовательно, обращения с системами, обладающими двумя состояниями, в общем случае.
* Мы принимаем энергию покоя m0c2 за «нуль» энергии и считаем магнитный момент m электрона отрицательным числом, поскольку он направлен против спина.
* Сказанное нами может вас слегка ввести в заблуждение. Поглощение ультрафиолетового света в принятой нами для бензола системе с двумя состояниями было бы очень слабым, потому что матричный элемент дипольного момента между двумя состояниями равен нулю. [Оба состояния электрически симметричны, и в нашей формуле (7.55) для вероятности перехода дипольный момент m равен нулю, и свет не поглощается.] Если бы других состояний не было, существование верхнего состояния пришлось бы доказывать иными путями. Однако более полная теория бензола, которая исходит из большего числа базисных состояний (обладающих, скажем, смежными двойными связями), показывает, что истинные стационарные состояния бензола слегка искажены по сравнению с найденными нами. В результате все же возникает дипольный момент, который и разрешает упомянутые в тексте переходы, приводящие к поглощению ультрафиолетового света.
* Мы немного упрощаем дело. Первоначально химики думали, что должны существовать четыре формы дибромбензола: две формы с атомами брома при соседних атомах углерода (орто-дибромбензол), третья форма с атомами брома при атомах углерода, идущих через один (.мета-дибромбензол), и четвертая форма с атомами брома, стоящими друг против друга (пара-дибромбензол). Однако отыскали они только три формы — существует лишь одна форма орто-молекулы.
* До тех пор, пока нет сильных магнитных полей, это предположение вполне удовлетворительно. Влияние магнитных полей на электрон мы обсудим в этой же главе позже, а очень слабые спиновые эффекты в атоме водорода — в гл. 10.
Глава 9
ЕЩЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СОСТОЯНИЯМИ
§ 1. Спиновые матрицы Паули
§ 2.Спиновые матрицы как операторы
§ З. Решение уравнений для двух состояний
§ 4. Состояния поляризации фотона
§ 5. Нейтральный K-мезон *
§ 6. Обобщение на системы с N состояниями
Повторить: гл. 33 (вып. 3) «Поляризация»
§ 1. Спиновые матрицы. Паули
Продолжаем обсуждение свойств двухуровневых систем. В конце предыдущей главы мы говорили о частице со спином l/2в магнитном поле. Мы описывали спиновое состояние, задавая амплитуду С1того, что z-компонента спинового момента количества движения равна +h/2, и амплитуду С2 того, что она равна -h/2. В предыдущих главах мы эти базисные состояния обозначали |+> и |->. Прибегнем опять к этим обозначениям, хотя, когда это будет удобнее, мы будем менять их на |1> и |2>. Мы видели в последней главе, что когда частица со спином 1/2 и с магнитным моментом m, находится в магнитном поле В=(Вx, Вy, Bz), то амплитуды С+(=C1)и С-(=С2) связаны следующими дифференциальными уравнениями:
Иначе говоря, матрица-гамильтониан Hijимеет вид
конечно, уравнения (9.1) совпадают с
где i и j принимают значения + и - (или 1 и 2).
Эта система с двумя состояниями — спин электрона — настолько важна, что очень полезно было бы найти для ее описания способ поаккуратнее и поизящнее. Мы сейчас сделаем небольшое математическое отступление, чтобы показать вам, как обычно пишутся уравнения системы с двумя состояниями. Это делается так: во-первых, заметьте, что каждый член гамильтониана пропорционален m, и некоторой компоненте В; поэтому (чисто формально) можно написать
Здесь нет какой-либо новой физики; эти уравнения просто означают, что коэффициенты— их всего 4X3=12 — могут быть представлены так, что (9.4) совпадет с (9.2).
Посмотрим, почему это так. Начнем с Bz. Раз Вz встречается только в H11 и H22, то все будет в порядке, если взять
Мы часто пишем матрицу Hijв виде таблички такого рода:
Для гамильтониана частицы со спином 1/2 в магнитном поле В—это все равно что
Точно так же и коэффициенты можно записать в виде матрицы
