Тем временем появилось сочинение уже и до того имевшего большие заслуги в высшей арифметике Лежандра («Essai d’une theorie des nombres, год VI), в котором он не только тщательно обработал и привел в порядок все, что было сделано в этой науке до сих пор, но и привнес очень мпого своего собственного. Так как эта книга попала ко мне в руки слишком поздно, когда большая часть моего сочинения была уже готова, я ее нигде не упоминал в тех случаях, когда аналогия рассматриваемых вопросов могла бы дать к этому повод; лишь в отношении нескольких ее мест я счел необходимым сделать некоторые замечания в дополнениях, которые, как я надеюсь, любознательный читатель не оставит без внимания.
Во время печатания этого сочинения, которое несколько раз прерывалось и из-за многочисленных задержек растянулось на четыре года, я не только продолжал далее те исследования, которые начал еще ранее, но опубликование которых решил отложить до другого случая, чтобы не делать книгу слишком объемистой, но и принялся 8а многпе новые исследования. Кроме того, несколько исследований, которые я по той же причине только вскользь упоминал, так как более подробное расмотрение представлялось мне необходимым (например, те, о которых говорится в п. п. 37, 82 и следующих, и в других местах), в дальнейшем были продолжены и дали повод к болео общим исследованиям, которые представляются достойными опубликования (ср. также сказанное в дополнениях относительно п. 306). Наконец, так как книга вследствие значительного размера раздела V оказалась гораздо объемистее, чем я ожидал,— многое, что первоначально для нее предназначалось, и в частности весь восьмой раздел (который в этом сочинении уже упоминается в нескольких местах, и который содержит общее изложение теории алгебраических сравнений любой степени), пришлось выбросить. Все эти вещи, которые легко могут заполнить том, равносильный настоящему, я опубликую, как только для этого представится случай.
То, что во многих трудных исследованиях я пользовался синтетическими доказательствами и опускал анализ, при помощи которого они были найдены, объясняется главным образом требованиями краткости, которым я, насколько это возможно, должен был стремиться удовлетворить.
Теория деления круга или теория правильных многоугольников, которая рассматривается в разделе VII, сама по себе не принадлежит арифметике; однако ее принципы следует черпать только в высшей арифметике; это будет для математиков, быть может, столь же неожиданным, сколь, надо надеяться, приятными бывают для них обычно истины, черпаемые из этого источника.
На это я хотел обратить внимание читателя. О самом предмете судить не мне. Я ничего не желаю столь горячо, как того, чтобы эти исследования понравились тем, кто принимает близка к сердцу успехи науки, как те, которые восполняют имевшиеся до сих пор пробелы, так и те, что открывают путь к новому.
КОШИ
(1789—1857)
Огюстен Луи Коши родился в Париже. Отцу он обязан как бескомпромиссной набожностью, так и прекрасным классическим образованием, которое тот, по совету Лагранжа, дал своему сыну. В 1810 г. Коши окончил Политехническую школу по Отделению мостов и дорог. К этому же времени относятся его первые работы по математике, включая знаменитое исследование о многогранниках. Три года Коши работал военным инженером в Шербуре, а затем начал преподавать в ряде высших учебных заведений Парижа. В 1816 г. Коши стал профессором математики в Политехнической школе и в том же году был назначен членом Академии наук на место, освободившееся после исключения Мошка.
После июльской революции 1830 г. Коши эмигрировал в Турин, где король Сардинии создал для него кафедру теоретической физики. Коши был воспитателем герцога Бордосского и в течение нескольких лет путешествовал с наследником Карла X по Европе. В 1838 г. он вернулся в Париж и с 1842 по 1852 гг. был профессором астрономии университета.
Его биограф аббат Муано писал: «Коши был роста выше среднего, тонок и очень строен. Походка была скорая; так как он дорожил временем и пе желал т«?рять минуты, ему часто приходилось бегать. Его волосы, бровп и борода былп редки, что придавало ему вид несколько юный. Лоб его был высокий и очень открытый, глаза немного томные с несколько блуждающим взглядом, но полные жизни и ума. Нос его длинный и тонкий, губы открытые, рост немного велик, голос сильный и пе совсем обыкновенный, произношение его парижское и до крайности картавое, цвет лица бледный и немного болезненный; будучи на вид слабый, он редко болел».
По своему характеру Коши был человеком с несколько упрощенным отношением ко всему тому, что не касалось науки; а его клерикальные и монархические убеждения вызывали антипатию многих. Исключительно работоспособный и продуктивный ученый, Коши написал более 700 работ почти во всех областях современной ему физики и, особенно, математики. Здесь мы не можем дать даже беглый обзор его работ. Заметим только, что вместе с Гауссом он развил теорию функций комплексного переменного, им систематически изучены задачи с начальными условиями для дифференциальных уравнений — то, что теперь мы называем задачей Коши.
Значительное влияние на всю математику оказали новые требования к строгости доказательств и точности выводов, которые проводились Коши, хотя современники обвиняли его в недостаточной законченности его собственных работ. Учебники, где Коши систематически использует понятие предела, послужили образцом для построения курсов высшей математики позднейшего времени. Мы приводим предисловие к «Курсу алгебраического анализа» Коши, впервые изданному в 1821 г.
КУРС АЛГЕБРАИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Некоторые лица, которые так охотно руководили мною в начале моего поприща (среди них я с особой признательностью назову Лапласа и Пуассона), выразили желание видеть в печати курс анализа, читанный мной} в Политехнической школе. Для пользы слушателей я решил написать этот курс, что и составило данную книгу, в которую вошла его первая часть — алгебраический анализ. В этой части курса рассматриваются различные виды вещественных и мнимых функций, сходящиеся и расходящиеся ряды, решение уравнений и разложения рациональных дробей.
Говоря о непрерывности функций, я не мог оставить без внимания главные свойства бесконечно малых величин и именно те свойства, на которых основаны дифференциальное и интегральное исчисления. Наконец, во введении и в примечаниях, помещенных в конце сочинения, ириведены те сведения, которые могут быть полезны как для преподавателей и слушателей наших учебных заведений, так и для тех, кто желает специально изучить анализ.
Что касается способа изложения, то я старался придать выводам ту строгость, которая требуется в геометрии, совершенно избегая сужде-нип, полученных из алгебраических обобщений. Хотя подобные суждения и допускаются, особенно при переходе от сходящихся рядов к расходящимся и от вещественных выражений к мнимым, но мне кажется, что их молото принять лишь за наведения, посредством которых, и то не всегда, только угадывается истина, что совершенно не удовлетворяет той строгости, которой гордятся математические науки. К тому же наведения могут дать безграничный простор алгебраическим формулам, между тем как в действительности большая часть этих формул справедлива только при известных условиях и лишь при некоторых значениях входящих в них величин. Определяя эти условия и эти значения и устанавливая точный смысл знакоположений, которые много используются, я устраняю всякую неопределенность. Таким образом, эти различные формулы выражают отношения между вещественными величинами и эти отношения всегда легко проверить путем подстановки чисел вместо самих величин. Правда, для того чтобы оставаться верным этим принципам, я должен был допустить многие предположения, которые с первого взгляда поражают. Так например, в VI главе я говорю, что расходящиеся ряды не имеют суммы, в VII главе — что мнимое уравнение есть только символическое изображение двух уравнений между вещественными величинами. В IX главе: если постоянная или переменная какой-либо функции из вещественных по условию станут мнимыми, то обозначение, принятое для выражения функции, может быть сохранено только при новом условии, дающем возможность выразить смысл такого обозначения, сообразный с последним предположением и т.д. Впрочем я надеюсь, что нашп читатели сами лично убедятся, что подобные предположения, которые вызывают потребность в большей отчетливости и с пользой ограничивают обобщение, не только служат делу анализа, но и дают новые материалы для весьма важных исследований. Так, прежде чем отыскивать сумму какого-либо ряда, я должен был рассмотреть: в каких случаях ряды могут суммироваться, т.е. в чем заключается условие их сходимости. Относительно этого я нашел общие правила, которые, по моему мнению, заслуживают некоторого внимания.
